206.

en écrit la partie commenfurable la premiere, & l'on écrit
au devant vers la droite, la partie incommenfurable précedée
du figne ✔, comme on le voit dans a2 V12, & cette ex-
preffion marque le produit de l'une de ces parties par l'au-
tre. av12 = a' x √12.

*le 99.

5o. On remarquera fur les fignes + & + &—, 1o, que quand on extrait la racine dont l'expofant eft un nombre impair, comme 3, 5, 7, &c. d'une grandeur qui a le figne + figne de la racine doit toujours être+; & que fi la grandeur a -*, la racine doit toujours avoir le figne -: 2°. Mais, * 99. lorfque l'expofant de la racine eft pair, comme 2, 4, 6, &c.

que la racine *peut avoir le figne, &* qu'elle peut aussi *99.*99.
avoir le figne. Par exemple, aeft la racine 2de +a”,
&a eft auffi la racine 2o de +a'. Quand il eft neceffaire de
marquer ces deux racines pofitive & négative, on les marque
ainfi,±a eft la racine 2 de a. Mais comme on cher-
che plus ordinairement les grandeurs pofitives que les néga-
tives, on prend d'ordinaire la racine pofitive. 3. Enfin que
fi la grandeur litterale avoit le figne, & que l'expofant de
la racine fût un nombre pair, * la racine seroit une gran-
deur impoffible, qu'on nomme imaginaire: on expli-
quera dans le fecond Livre les racines impoffibles. Ains
la racine 2o de
- a.
marque ainsi ✔.

a

fe

L'extraction des racines des puissances litterales complexes.
PROBLEME.

207• TROUVER la racine d'une puissance litterale complexe de
quelque degré que foit la puissance.

REGLE OU OPERATION. La maniere de trouver la racine
d'une puiffance litterale complexe quelconque est semblable
à la méthode de trouver la racine d'une puiffance numerique
quelconque, fi ce n'eft qu'on ne partage pas la puiffance lit-
terale en tranches comme la numerique, qu'on n'y diftingue
pas les membres de l'extraction comme dans les nombres,
& qu'on n'y obferve pas non plus les rangs qui font particu-
liers aux nombres; mais on ordonne la puiffance litterale
en termes differens, par rapport à l'une des lettres de cette

100.

puiffance, mettant au premier terme la plus haute puiffance de cette lettre, & les autres puiffances qui defcendent d'un degré de l'une à l'autre dans les termes fuivans, obfervant de choisir la lettre qui donnera pour premier terme une puiffance parfaite du degré de celle dont on cherche la ra

cine.

*

On trace un petit arc au devant de cette puiffance, pour marquer la place où l'on doit écrire les parties de la racine à mesure qu'on les trouvera. On prend dans la table des *160. puissances pour regle de l'extraction de la racine, la formule litterale du degré de la puiffance litterale fur laquelle on veut operer: & 1°, fuppofant que le premier terme de la formule repréfente le premier terme de la puiffance propofée, on prend la racine du premier terme représentée par a de la formule, & l'on écrit pour premiere partie de la racine qu'on cherche, cette racine du premier terme de la puiffance litterale du degré de celle que l'on cherche. On retranche la puiffance de cette premiere partie de la racine du degré de la puiffance propofée, on la retranche, dis-je, du premier terme; mais comme elle est toujours égale à ce premier terme, on efface fimplement le premier terme de la puiffance litterale, ou bien l'on met un point ou zero au deffous, pour marquer qu'on a retranché cette puiffance.

&

2o. Suppofant que a de la formule représente la premiere partie de la racine découverte par la premiere operation, que b de la formule repréfente la feconde partie qu'on cherche, on prendra pour divifeur la grandeur repréfentée par le fecond terme de la formule, dont on a effacé b; on divifera le fecond terme de la puiffance propofée par ce divifeur, & l'on écrira le quotient pour la feconde partie de la racine. Puis fuppofant la feconde partie de la racine qu'on vient de découvrir repréfentée par b de la formule, on formera les produits prefcrits par la formule, & on les retranchera de la puiflance propofée, écrivant le reste au deffous, & zero quand il n'y a pas de reste.

3°. Le refte précedent joint aux grandeurs de la puiffance propofée, fur lesquelles on n'a pas encore operé, est la grandeur litterale fur laquelle on doit continuer l'operation; on la continuera en fuppofant les deux premieres parties de la racine déja découvertes repréfentées par a de

la formule, & la troifiéme qu'on cherche repréfentée par b. On prendra pour divifeur le produit repréfenté par le fecond terme de la formule, dont on a effacé b. On divifera celui des termes de la puiffance, fur lefquels on doit operer, qui contient la plus haute puiffance de la lettre, fuivant laquelle on a ordonné la puiffance propofée, par le premier terme du divifeur. On écrira le quotient pour la troifiéme partie de la racine; & la fuppofant cette troifiéme partie représentée par b de la formule, on formera les produits prescrits par la formule, on les retranchera de la puiffance propofée, & l'on écrira le refte au deffous.

4°. Ce dernier refte & les grandeurs de la puiffance fur lesquelles on n'a pas encore operé, font la grandeur litterale fur laquelle on doit continuer l'operation. On la continuera, en fuppofant les trois parties de la racine déja découvertes représentées par a de la formule, & la quatriéme qu'on cherche représentée par b; & operant comme dans l'article précedent, on trouvera la quatrième partie de la racine, & enfuite la cinquième, la fixième, & les autres fuivantes jusqu'à la derniere, qui doit donner zero pour reste, fi la puiffance proposée est parfaite.

5°. Quand on a trouvé zero pour le dernier refte, & qu'il n'y a plus de grandeurs fur lesquelles on doive operer, l'operation eft finie, la racine qu'on a trouvée eft exacte, & la puiffance propofée eft une puiffance parfaite. Mais quand on arrive à un refte fur lequel on ne peut plus continuer l'operation fans trouver pour quotient une fraction, la puiffance propofée eft imparfaite, ou bien elle ne peut fe continuer fans fraction.

Quand on s'apperçoit que la puiffance litterale, dont on cherche la racine, eft imparfaite, ou bien que fa racine que l'on cherche n'eft pas une grandeur entiere, on ne fait point d'ordinaire l'extraction de la racine de la plus grande puiffance parfaite du même degré contenue dans la propofée, on se contente de mettre au devant de cette puiffance le figne ✔, écrivant au dessus de ✔ l'expofant de la racine qu'on demande, & on tire une ligne du haut du figne qui va cou

vrir toute la puissance imparfaite de cette maniere √a‍+2ax+x` —b`. Mais fi l'on a befoin d'avoir cette racine, on trouve d'abord

la racine de la plus grande puiffance parfaite entiere contenue dans la puiffance imparfaite propofée, & l'on continue l'operation pour avoir une racine autant approchée qu'on le voudra, par la methode qu'on expliquera dans le Livre fui I. EXEMPLE.

vant.

racine.

9c* + 24c'd — 14c3d' — 40cd3 + 25d* \3c2+4cd— 5d2

Pour trouver la racine 2 ou quarrée de la grandeur 9 → 24c3d. — 14c23d2 —40cd → 25d*, qui eft ordonnée par rapport à la lettre c. On fe fervira de la formule a+2ab+b2 de la 2° puiffance; &, fuppofant que a de la formule repréfente 94*, on prendra la racine 2 de 96, qui eft 3c, qu'on écrira pour la premiere partie de la racine. On ôtera 9et, quarré de 3c de 9c, & on écrira le refte zero au deffous. Cette operation ne convient qu'à la premiere partie de la

racine.

2. Suppofant 36 repréfentée par a de la formule, za de la formule fait voir que le divifeur qui doit fervir à trouver la feconde partie de la racine eft 6c. Ainfi on écrira 6c2, ou ce qui

I sent au même dans l'extraction de la racine c

tée

ce

rée, on multipliera par 2 la partie 3 de la racine déja découverte, & l'on écrira le produit 6c pour le divifeur. On divisera + 24c3d par→ 622, & on écrira le quotient + 4ed à la racine. On écrira encore → 4cd devant le diviseur, qui fera 662+4cd. Puis fuppofant que 4cd eft repréfenpar b de la formule, on multipliera 6c2 + 4ed, repréfentée par za+b de la formule, par 4cd repréfentée par+b, & on retranchera de la puiffance propofée, les produits + 24c3d + 16c2d2 repréfentez par la formule 2ab+b2, & on écrira le reste 30c'd' au deffous du terme de la puiffance 14c'd, & on effacera les termes de la puiffance fur lefquels on a operé, ou bien on écrira des zeros au deffous pour faire fouvenir qu'ils ne doivent plus fervir.

On remarquera que quand on s'eft rendu familiere l'extraction des racines, la multiplication & la fouftraction, dont on vient de parler, fe font par l'efprit fans écrire autre chofe le refte de la fouftraction. Cette remarque que fervira pour le refte de cet exemple, & pour les fuivans. 3°. Pour continuer l'operation fur le refte précedent-30d, joint aux termes de la puiffance propofee, fur lefquels on n'a pas encore operé, on fuppofera les deux parties de la racine déja découvertes 3c4cd représentées par a de la formule zab+b. On formera le divifeur 6c+8cd, comme le prescrit 2a de la formule. Et divisant 30c'd par le premier terme + 6c2 du diviseur, on trouvera le quotient 5d qu'on écrira à la racine, & encore au devant du divifeur. Puis fuppofant-5di représentée par 6 de la formule, on multipliera 6c2 + 8cd 5d2 que repréfente 2a + b de la formule par sd représentée par b, & l'on ôtera les'produits — 30cd40cd+25d+, des termes qui restent dans la puiffance propofée. Et trouvant que le reste eft zero, qu'il n'y a plus de termes dans la puiffance propofée fur lefquels on n'ait operé; on eft affuré par là que 3c + 4cd'

&

5d eft racine exacte de la puiffance propofée, qui eft une: puiffance parfaite, dont la racine eft une grandeur entiere.. II. EXEMPLE,

On trouvera de même la racine quarrée de la 2 puiffance complexe B, après l'avoir ordonnée par rapport à la lettre y 1o. On dira la racine quarrée de 4x2 eft 2xy; on écrira 2xy pour la premiere partie de la racine. On retranchera 4xy 2 quarré de 2xy, de 4xy on écrira au deffous le refte o.

2o. On multipliera la racine 2xy par 2, & on écrira le