Ueber monoconfocale Kegelschnitte.

Von Dr. J. Keller.

Mit 22 Figuren.

Nach einem Abbildungsprincipe von Prof. Dr. W. Fiedler) werden die dreifach unendlich vielen Kreise einer Ebene durch die in ebenso grosser Anzahl vorhandenen Punkte des Raumes dargestellt, in der Weise, dass man in dem Mittelpunkte des Kreises das Perpendikel auf die Ebene errichtet und auf demselben nach der einen oder andern Seite eine Distanz aufträgt, die gleich dem Radius des Kreises ist; der Raumpunkt, zu dem man so gelangt, ist der Repräsentant des betreffenden Kreises. Systemen von einfach unendlich vielen Kreisen entsprechen alsdann einfach unendlich viele Punkte des Raumes, die auf einer gewissen Curve liegen; Systemen von zweifach unendlich vielen Kreisen zweifach unendlich viele Punkte, die eine gewisse Fläche erfüllen; hiernach werden die Aufgaben, Kreise nach vorgeschriebenen Bedingungen zu construiren, auf bestimmte Probleme über jene Curven und Flächen übertragen. Angeregt durch die Fülle und Vollständigkeit der Resultate, sowie durch die so zu sagen spielend einfachen Lösungen scheinbar schwieriger Probleme, die sich aus diesem Abbildungsprincipe ergeben, suchte ich nach ähnlichen Fällen, und da bot sich mir denn in erster

*) Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich. Bd. XXIV, p. 145 ff.

Linie der duale zu jenem dar: Die Kegelschnitte einer Ebene, die einen gemeinsamen Brennpunkt haben, durch die Ebenen des Raumes darzustellen: Denn wie der Kreis ein Kegelschnitt ist, von welchem begriffsgemäss bereits zwei Punkte festgesetzt sind, die imaginären Doppelpunkte der Involution harmonischer Pole auf der unendlich fernen Geraden seiner Ebene, (die Kreispunkte seiner Ebene), so sind auch von dem Kegelschnitte, der einen gegebenen Punkt zu einem seiner Brennpunkte hat, bereits zwei Tangenten fixirt, die imaginären Doppelstrahlen der Rechtwinkel-Involution harmonischer Polaren aus dem Brennpunkte; den Punkten des Raumes entsprechen aber seine Ebenen nach dem Dualitätsprincipe. Diesen Analogieen gemäss ist nun auch meine Darstellung monoconfocaler Kegelschnitte jener Darstellung der Kreise nachgebildet: Ich nenne die Ebene, auf der sich die dreifach unendlich vielen Kegelschnitte mit einem gemeinsamen Brennpunkte befinden, die Bildebene; F sei der gegebene Brennpunkt. Ist nun K ein bestimmter Kegelschnitt des Systems, so stelle ich ihn dar durch die eine der zwei Ebenen, welche die Bildebene in der Polare des Brennpunktes F (Leitlinie 1) schneiden und mit ihr den Winkel a einschliessen, wobei tg.a dem constanten Verhältnisse e gleich ist, in welchem die Entfernung eines Curvenpunktes vom Brennpunkte F zu seiner Entfernung von der Leitlinie steht. Ich überlasse es von jetzt ab dem Leser, selber zu verfolgen, wie zwischen den aus jenem Kreisabbildungsprincipe fliessenden Resultaten und den meinigen, sowohl in der Art und Weise der Ableitung als auch in dem endlichen Ausdrucke derselben überall das Dualitätsgesetz durchblickt.

Ich setze voraus, der Kegelschnitt (Fig. 1, nach Annahme eine Ellipse) sei gegeben, ausser durch den Brennpunkt F, durch die Scheitel A, B der grossen Axe, womit auch der Mittelpunkt M und die Scheitel C, D der kleinen Axe leicht erhältlich sind. Errichten wir in A und B die Lothe auf die Gerade AB und tragen auf ihnen resp. die Längen AF und BF nach gleichen Richtungen auf, so schneidet die Verbindungsgerade der Endpunkte (4), (B) die Gerade A B in dem Punkte E; das in E auf A B errichtete Loth ist die Polare des Brennpunktes F; denn es verhält sich e. Die Gerade E(A) (B)

ist auch

(F) F

FE

AF BF

=

AE BE

berührt zudem den Kegelschnitt in ihrem Schnittpunkte (F) mit dem in F auf AB errichteten Lothe, denn es = e. Hiermit sind nun auch die zwei Ebenen bekannt, welche unserem Abbildungsprincipe gemäss den Kegelschnitt repräsentiren: Sie gehen durch 7 und schliessen mit der Bildebene den Winkel a ein, dessen (A) A tang. =e= ist. Offenbar sind die Geraden E(A)(B), AE E (A*) (B*) die Umklappungen der durch E gehenden Falllinien dieser Ebenen mittelst ihrer projicirenden Ebene. Umgekehrt ist durch die Kenntniss der einen. oder der andern dieser Ebenen der Kegelschnitt wirklich eindeutig repräsentirt, mit anderen Worten, man ist dadurch in den Stand gesetzt, den Kegelschnitt zeichnen zu können; denn durch Angabe der Linie 7, der Spur der Ebene mit der Bildebene, ist das Loth FE auf sie und durch die Kenntniss des Winkels a die Gerade E(A) (B) bestimmt; schneidet man diese letztere durch die 45° Linien F(A), F(B), gelangt man zu den Punkten (A), (B) und damit zu den Scheiteln A und B selbst, woraus der

PP

PP

Kegelschnitt gezeichnet werden kann. Es ist augenscheinlich, dass die andere mit der Bildebene den Winkel a einschliessende Ebene die nämlichen Punkte A, B liefert. Ist P ein beliebiger Curvenpunkt, so ergibt sich PF (P) P = =&= tg a, d. h. errichten wir in einem willkürlichen Curvenpunkte das Loth auf die Bildebene, so trifft es die den Kegelschnitt repräsentirende Ebene in einem Punkte, dessen Entfernung von P= der Länge des Radius vector PF ist oder also: Der über dem Kegelschnitte als Basis errichtete senkrechte Cylinder trifft die den Kegelschnitt repräsentirende Ebene in einem neuen Kegelschnitte, dessen Punkte von den entsprechenden Basispunkten um die Radien vectoren der letzteren entfernt sind. Ist e 1 oder α = 45° (Fig. 2), so läuft die eine der durch F gehenden 45° Linien parallel zu E(F), die andere trifft sie in der Mitte zwischen E und (F), d. h. der zugehörige Kegelschnitt ist eine Parabel; ist e> 1 oder «> 45°, so ist der entsprechende Kegelschnitt eine Hyperbel, deren Asymptoten mit AB einen Winkel g einschliessen, dessen cosin. ist; e<1 oder a< 45° entspricht wie in Fig. 1 eine Ellipse. Steht die Ebene auf der Bildebene senkrecht, entspricht ihr als Kegelschnitt die als doppelt gelegt anzusehende Gerade l; sie ist als Grenzfall einer Hyperbel zu betrachten, deren reelle Axe zu o geworden; der Bildebene (l, ao) entspricht der Brennpunkt F, anzusehen als Grenzfall einer Ellipse oder besser eines Kreises vom Radius o. Auch über die Lage der Ebenen, welchen die speciellen Formen: Kreis und gleichseitige Hyperbel entsprechen, kommen wir in's Klare, wenn wir bei den Kegel

=

a

с

schnitten auf das Abhängigkeitsgesetz zwischen dem Axenverhältnisse und der Constanten e Rücksicht nehmen. Es

für ba wird eo, und somit a = 0, d. h. dem Systeme der zur Bildebene parallelen Ebenen entsprechen Kreise; sie haben alle den Brennpunkt F zum gemeinschaftlichen Mittelpunkte und jeder unter ihnen hat zum Radius die Entfernung der entsprechenden Ebene von der Bildebene. Für den hyperbolischen Fall ist

=

daher wird für ba, er 2, d. h. den Ebenen, welche mit der Bildebene den Winkel arc tg 2 einschliessen, entsprechen gleichseitige Hyperbeln; machen wir demzufolge in Fig. 2 die Kathete F (F) des rechtwinkeligen Dreieckes EF(F) gleich der Hypothenuse des rechtwinklig gleichschenkeligen Dreieckes E F (F1), so schliesst die Gerade E(F2) mit EF den Winkel arc tg 2 ein und folglich entspricht der zugehörigen Ebene eine gleichseitige Hyperbel. Aus der Formel-1 folgt all

a

gemein, dass die Asymptoten der Hyperbel, deren entsprechende Ebene mit der Bildebene den Winkel a einschliesst, mit der Geraden EF einen Winkel bilden, dessen Secante = tg a ist. Den Ebenen eines Büschels, dessen Scheitelkante auf der Bildebene liegt, entsprechen hiernach Kegelschnitte, welche diese Scheitelkante zur gemeinsamen Leitlinie 7 haben. Sie bilden in Wirklichkeit ein System sich doppelt berührender Kegelschnitte, welche die