die vier gesuchten Schnittpunkte je paarweise conjugirt und können daher als Schnittpunkte dieser Geraden mit einem der zwei gegebenen Kegelschnitte nach Aufgabe 1 gefunden werden. Natürlich kann das eine oder das andere Paar der Schnittpunkte imaginär ausfallen, oder auch beide Paare zugleich; unter allen Umständen sind ihre Verbindungsgeraden $12, -812 reell und bestimmt. Fällen wir z. B. von dem Schnittpunkte X die Lothe XX1, XX, resp. auf die Spuren 1, l, und bezeichnen die Winkel, welche die Sehne SXY mit 1, und l2 einschliesst, mit 1 2, so ergibt sich: sin 1 = und Die Sehne SX Y theilt den Winkel der zwei Spuren l1, l in dem umgekehrten Verhältnisse der Winkel a1, α2; dasselbe ist der Fall mit der anderen Sehne SZU; hieraus folgt: Der Winkel der zwei Spuren wird durch die Sehnen SXY, SZU harmonisch getheilt. Noch einfacher als so folgt diese Eigenschaft aus den Schnittpunkten N, -N der bei der Construction von $12, -S12 verwendeten Niveaulinien, denn diese liegen symmetrisch zum Schnittpunkte La von la mit n1. 4. Aufgabe. Man construire die Kegelschnitte durch drei gegebene Punkte X, Y, Z. Alle Kegelschnitte, welche durch die zwei Punkte Y, Z gehen (Fig. 10), haben die Ebenen zweier Büschel, deren Scheitelkanten S23 Y Z, -S23 YZ nach Fig. 4 ermittelt werden können, zu ihren Correspondentinnen; ebenso ent 1 sprechen den Ebenen der Büschel S11 ZX, —S31 ZX die Kegelschnitte durch Z, X und den Büscheln S12 X Y, -S12 X Y die Ebenen durch X, Y. Diese sechs Kanten liegen vier Mal zu dreien je auf einer Ebene und zwar: S23 Y Z, S31 ZX, S1, X Y auf E von der Spur s S23 S31 S12, S23-S31-S127 83-S23-S31 S12 Sa-S23 S31-S127 Von jeder dieser Ebenen kann der zugehörige Neigungswinkel a mittelst eines der drei Punkte X, Y, Z leicht gefunden werden; die vier Kegelschnitte, welche diesen vier Ebenen entsprechen, gehen durch X, Y, Z. — Den drei Geraden s1, S2, S, entsprechen infolge ihrer Lage gegenüber X, Y, Z nothwendig Hyperbeln; s kann möglicherweise eine Ellipse correspondiren, wie diess in unserer Fig. der Fall ist. Je zwei der vier Kegelschnitte haben ausser X, Y, Z noch einen vierten Punkt gemeinsam, der nach Aufgabe 3 mit einem von diesen auch auf einer durch den Schnittpunkt der Spuren der zwei entsprechenden Ebenen gehenden Geraden liegt. Sehnen der letzteren Art -.das sei hier noch bemerkt gibt es 6, welche 4 Mal zu dreien durch je einen Punkt gehen. 5. Aufgabe. Man construire die Kegelschnitte, welche durch zwei Punkte gehen und in dem einen von ihnen eine gegebene Gerade zur Tangente haben. Offenbar bildet diese Aufgabe einen Specialfall der vorhergehenden und wird daher auch nach denselben Principien wie diese gelöst. Der Fig. 11 gemäss entsprechen jedoch nur den Ebenen Eund E, wirkliche Kegelschnitte, während E und E, zusammenfallen in die Normalebene zur Bildebene durch X Y und diese ihnen daher als Doppel gerade entspricht. s, hat stets eine Hyperbel zur Correspondentin, während s eine Ellipse oder Hyperbel entsprechen kann. Ausser den gegebenen Elementen haben die zwei Kegelschnitte noch einen Punkt gemeinsam, der mit X auf einer Geraden nach dem Schnittpunkte von 8, 8, liegt. Das System von drei beliebigen Kegelschnitten. 3 Sind K1, K,, K, (Fig. 12) drei beliebige Kegelschnitte, durch die Ebenen (1, a1), (2, 2), (3, α3) repräsentirt, so können wir nach Aufgabe 3, pag. 13, die Schnittpunkte je zweier von ihnen direct ermitteln. Die folgende Zusammenstellung gibt die sechs Sehnen, auf denen jene paarweis liegen, mit Angabe ihrer Entstehungsweise: Saa als Orthog. Projection der Schnittlinie der Ebenen (la, α), (g, α), oder (12,-αg), (13,-α3) (la, αg), (1,-α), n (l2,-αg), (13, α3) -S23 " " " (l1, α1), (l2,-α2), „ (11,-α1), (l2, αg). (11, α1), (l2, αg), „ (11,-α1), (19,-α9) -812 " Die sechs Ebenen (l;, ± a;) gehen achtmal zu dreien durch einen Punkt, und zwar liegen je zwei von diesen symmetrisch zur Bildebene; daraus folgt, dass die sechs Sehnens viermal zu dreien durch einen Punkt gehen und zwar : S23, S31, S12 durch S, als Orth. Proj. des Schnittp. der Ebenen (l1, α1), (l2, α2), (13, α3) in Fig. 10 treten 4 solche Gruppen von S auf der Art, dass bei jeder Gruppe 3 der Smit X, Y, Z zusammenfallen). Anderseits liegen die Schnittlinien der sechs Ebenen (11, ± α1), (11⁄2, ± α2), (l3, ±α3) mit bestimmt zugeordneten, durch die Six gehenden Normalebenen zur Bildebene zu dreien je in einer Ebene; bezeichnen wir die Normalebene durch Sik mit + Nik, so enthält die folgende Zusammenstellung die diesbezüglichen Relationen: Die Schnittl. (1, α1), -N23; (l2, α2), -N31; (l3, α3), -N12 lieg. in ein. Ebene v. d. Spur -s (11,-α1), -N23; (l2, ag), N31; (l3, α3), N12 " -$1 " -82 -Sg. Hieraus folgt, dass die Schnittpunkte der 7 mit bestimmt zugeordneten +Sk viermal zu dreien auf Geraden liegen, und zwar: Die Schnittpunkte von 71, -823; l2, -831; l3, -812 auf -s " Das Vierseit dieser -s S12 -S2 S23; l2, S31; 3, -812" -S3. hat die sechs Schnittpunkte (li,Sk) zu seinen Ecken und das Dreiseit der 7 zum Diagonaldreiseit. Aus dem Vorigen lässt sich der wichtige Specialfall ableiten, bei welchem die drei Kegelschnitte einen gemeinschaftlichen Punkt besitzen. Wenn dieses stattfinden soll, so müssen die drei Ebenen, welche die Kegelschnitte repräsentiren, durch einen Punkt gehen, dessen Entfernung von der Tafel ebenso gross ist wie die Entfernung seiner Orthogonalprojection vom Brennpunkte F, oder mit andern Worten: Seine Verbindungsgerade mit F muss gegen die Bildebene einen Neigungswinkel von 45° bilden. Die Fig. 13 enthält diese Specialität bezüglich des Punktes S; derselbe ist die Orthogonal-Projection des Schnittpunktes der Ebenen (11, α1), (12,-α2), (13, Durch die letzten Betrachtungen sind wir zur Ein XXVII. 1. 2 αz). sicht gelangt über das Kegelschnittsystem, welches einem Ebenenbündel (die Gesammtheit der zweifach unendlich vielen Ebenen, die durch einen beliebigen Punkt den Scheitel des Bündels- des Raumes gehen) entspricht. Ist S die Orthogonal-Projection des Scheitels des Ebenenbündels, so sind die zweifach unendlich vielen Kegelschnitte, welche den Ebenen des Bündels correspondiren, durch die Eigenschaft verbunden, dass die eine der Schnittsehnen von je zweien unter ihnen durch S geht; die andere Schnittsehne schneidet sich mit dieser im Schnittpunkte der zwei bezüglichen Spuren 7 und sie beide theilen den Winkel der letzteren harmonisch. Bildet die Verbindungsgerade des Brennpunktes F mit dem Scheitel des Bündels gegen der Bildebene einen Neigungswinkel, der <45°, so liegt S ausserhalb eines jeden wirklichen, nicht degenerirten Kegelschnittes des Systems; d. h. es gehen von ihm an jeden solchen Kegelschnitt zwei reelle, verschiedene Tangenten; ist dieser Winkel > 45°, so liegt S im Innern eines jeden Kegelschnittes, und wenn er 45°, so gehen alle Kegelschnitte durch S. Denken wir uns die Ebenen des Bündels in die Tangentialebenen von geraden Kreiskegeln angeordnet, welche den Scheitel zur gemeinschaftlichen Spitze und das Loth von diesem zur Bildebene zur Axe haben, so sieht man, dass in dem Kegelschnittsystem im Allgemeinen unendlich viele Kegelschnitte von derselben Constanten e oder demselben Axenverhältnisse, resp. demselben Asymptotenwinkel vorkommen, somit unendlich viele Parabeln, unendlich viele gleichseitige Hyperbeln, unendlich viele zu Doppelgeraden degenerirte Kegelschnitte (entsprechen dem Bündel der zur Bildebene senkrecht stehenden Ebenen), unendlich viele in Linienpaare degenerirte Kegelschnitte (entsprechen = |