dem Ebenenbüschel, dessen Scheitelkante nach F geht), endlich ein Kreis.

Sollen umgekehrt die Kegelschnitte gezeichnet werden, welche durch einen gegebenen Punkt P gehen, so errichten wir in diesem das Loth auf die Bildebene und tragen auf ihm nach der einen oder andern Richtung die Distanz PF auf; der Endpunkt des Lothes ist alsdann der Scheitel des Bündels, dessen Ebenen die gewünschten Kegelschnitte entsprechen.

Die schon voraussichtlich interessanten Betrachtungen über specielle Ebenenbündel (specielle Lagen des Scheitels) mit ihren entsprechenden Kegelschnittsystemen finden hier keinen Raum.

Berührung von Kegelschnitten unter sich und mit geraden Linien.

Es sei K (Fig. 14) ein fest gegebener Kegelschnitt, durch die Ebene (1, a) repräsentirt. Ist t eine beliebige seiner Tangenten und T deren Berührungspunkt, so haben nach Fig. 6, pag. 11, alle Kegelschnitte, welche t in T und daher auch K in T berühren, zu ihren räumlichen Vertreterinnen die Ebenen eines Büschels, welches die auf der Ebene (1, a) liegende und sich in t projicirende Gerade t, zur Scheitelkante hat. Hieraus folgern wir : Alle Kegelschnitte, welche den gegebenen K berühren, sind durch die zweifach unendlich vielen Ebenen repräsentirt, welche durch die Tangenten des Kegelschnittes K, gehen, der in der Ebene (l,a) liegt und von welchem K die Orthogonal-Projection ist. Betrachten wir den speciellen Fall hievon, wo der feste Kegelschnitt K eine Gerade g (Fig. 15) und daher die ihn repräsen

=

tirende Ebene die Normalebene durch g zur Bildebene ist. Alle Kegelschnitte, welche g in P berühren, werden durch die Ebenen eines Büschels repräsentirt, das g, zur Scheitelkante hat (g, hat ihre Spur mit der Bildebene in S und geht durch den Punkt Pr, der senkrecht über P liegt in einer Entfernung PF). Lassen wir P die Gerade g durchlaufen, so sieht man, dass P, eine gleichseitige Hyperbel beschreibt und g, dieselbe als Tangente umhüllt; in jeder Lage ist P, der Berührungspunkt der entsprechenden Scheitelkante g., d. h.: Alle Kegelschnitte, welche die Geradeg berühren, werden durch die zweifach unendlich vielen Tangentialebenen einer gleichseitigen Hyperbel repräsentirt, welche in der Normalebene durch g zur Tafel liegt, g zur imaginären und das Loth in E aufg zur reellen Axe hat; die Länge der letzteren ist = 2 EF.

Als angewandte Aufgaben zu Diesem können die Kegelschnitte construirt werden, welche durch zwei Punkte gehen und einen gegebenen Kegelschnitt oder eine gegebene Gerade berühren; oder die Kegelschnitte, welche eine Gerade in einem bestimmten Punkte und einen gegebenen Kegelschnitt oder eine andere gegebene Gerade berühren; die Lösung dieser Probleme hängt offenbar bloss ab von der Ausführung der darstellend-geometrischen Aufgabe, die Ebenen zu bestimmen, welche durch eine Gerade gehen und einen Kegelschnitt berühren.

Es gibt einfach unendlich viele Kegelschnitte, welche durch einen Punkt P gehen und einen gegebenen Kegelschnitt K oder eine gegebene Gerade berühren; die sie repräsentirenden Ebenen sind die Tangentialebenen des Kegels, der den Punkt P, zur Spitze und den Kegelschnitt

r

r

K, zur Basis hat. Die zwei Kreise vom Mittelpunkte F, welche einen Kegelschnitt K berühren, entsprechen den durch die Tangenten h1r, har (Fig. 14) gehenden, zur Bildebene parallelen Ebenen. Den zur Tafel normalen Tangentialebenen von K, entsprechen ihre Spuren, die Tangenten von K, als in Doppelgerade degenerirte Hyperbeln, welche K berühren; endlich entsprechen den Tangentialebenen des Kegels von der Spitze F über der Basis K,, die alle zur Bildebene unter 45° geneigt sind und daher einen geraden Kreiskegel bilden, die Strahlen aus F als in Doppelgerade degenerirte Parabeln, die somit angesehen werden können als Kegelschnitte, welche K berühren.

Im Weiteren wollen wir nach den Kegelschnitten fragen, welche zwei gegebene Gerade g1, 92 berühren. Den Kegelschnitten, welche die Gerade g, berühren (Fig.16), entsprechen die Tangentialebenen der gleichseitigen Hyperbel K1; gleicherweise entsprechen den Kegelschnitten, welche g2 berühren, die Tangentialebenen der gleichseitigen Hyperbel K2r; soll daher ein Kegelschnitt sowohl 91 als auch g2 tangiren, so muss die ihm entsprechende Ebene gemeinschaftliche Tangentialebene der zwei Hyperbeln sein; nun besitzen diese letzteren zwei gemeinschaftliche Punkte X, -X, die lothrecht über dem Schnittpunkte X der zwei Geraden g1, 92 symmetrisch zur Bildebene im Abstande = XF sich befinden; die gemeinschaftliche Developpable (die Enveloppe der gemeinschaftlichen Tangentialebenen) der zwei Hyperbeln besteht daher aus zwei Kegeln zweiten Grades. Construiren wir in X, und -X, die Tangenten x-X1r; X2r, -X2r, resp. an die Hyperbeln K1r, Kar, so bestimmen x1r, xr und -x1r, -2, die gemeinschaftlichen Tangentialebenen der Hyperbeln in X und -X; dieselben liegen symmetrisch zur Bildebene und schneiden

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sich auf der durch F gehenden und auf FX senkrecht stehenden Geraden S1 S2, wie dieses nothwendig aus der Construction hervorgeht; auf dieser liegen die Spitzen jener zwei Kegel zweiten Grades. Die Tangenten aus X an die zwei Hyperbeln, berühren dieselben resp. in den über S und S2 lothrecht gelegenen Punkten Sir, Siri Sr, -Ser und bestimmen paarweise vier gemeinschaftliche Tangentialebenen der Hyperbeln; zwei von ihnen, nämlich (tır, -tar), (-tır, t2.) liegen symmetrisch zur Bildebene und schneiden sich in der Geraden X F; ebenso haben die beiden anderen (t1r, tar), (-t1r, -tar) symmetrische Lage gegen die Bildebene und schneiden sich in der Geraden XS, die mit X F den Winkel (91,92) harmonisch theilt (folgt unmittelbar aus der Construction). Die Punkte Fund S sind somit die Spitzen jener Kegel zweiten Grades und damit sind diese selbst bestimmt, denn entweder K1, oder Kar kann als ihre gemeinschaftliche Leitcurve betrachtet werden. Den Tangentialebenen des Kegels von der Spitze F, die alle mit der Bildebene Winkel von 45° einschliessen, entsprechen keine eigentlichen Kegelschnitte, sondern die Strahlen aus F als in Doppelgerade degenerirte Parabeln, die als solche die zwei gegebenen Geraden g1, 9, berühren; 92 den Tangentialebenen des Kegels von der Spitze S entsprechen dagegen wirkliche g1, g2 berührende Kegelschnitte. Als Anwendung hievon sind in Fig. 17 die zwei Kegelschnitte (, a1), (2, α) ermittelt, welche zwei Gerade 91, 92 berühren und ausserdem durch einen gegebenen Punkt Pgehen. Die Ebenen (1, α1), (l2, α2) sind die durch den Punkt P, gehenden Tangentialebenen des Kegels (S, K,); um diese zu ermitteln, ziehen wir die Verbindungsgerade P. S und markiren ihren Schnittpunkt D. mit der durch g, gehenden Normalebene zur Tafel;

r

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von D, gehen an die gleichseitige Hyperbel Kır zwei Tangenten, die mit P. S die zwei gewünschten Ebenen bestimmen; das Uebrige folgt aus Früherem. Man kommt bei der Lösung dieser Aufgabe in den Fall, von einem Punkte D, aus an die gleichseitige Hyperbel K1r die Tangenten zu construiren. Zu diesem Zwecke betrachten wir D. (Fig. 18) als die Umklappung eines in der durch g1 gehenden Normalebene zur Tafel gelegenen Punktes wie in Fig. 17; die Weiterconstruction verläuft nun ganz analog mit der in Aufgabe 2, pag. 12, angegebenen: Wir schlagen um D (Projection von D,) als Centrum mit dem Radius D D, den Kreis, ziehen von Fan denselben die zwei Tangenten t1, t2, die aus g1 die Punkte S1, S schneiden, durch welche die gesuchten Tangenten gehen; denn steht FT 1 auf FS, und trifft das in T1 auf g1 errichtete Loth die Gerade S1 D. in (T1), so folgt: D1D: (T12)T1 = D D1 : T1 F=S1 D: S1 T1; da nun DDDD1, so folgt (T1.)T1 = T1 F, also liegt (T11) auf der Hyperbel (K1r,) womit bewiesen, dass S1 D, sie in (T1,) berührt etc.

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1

1

Ist der Kegelschnitt zu bestimmen, der drei gegebene Gerade 91, 92, 93 berührt (Fig. 19), so ermitteln wir die Spitzen S3, S1 der Kegel, deren Tangentialebenen Kegelschnitte entsprechen, die gleichzeitig 92, 93, resp. 93, 91 berühren; den zwei gemeinschaftlichen Tangentialebenen dieser Kegel, die zur Bildebene symmetrisch liegen und deren gemeinschaftliche Spur 7 die Gerade S2, S31 ist, entspricht alsdann der Kegelschnitt, der alle drei Geraden berührt; die Spitze S12 des dritten Kegels, dessen Tangentialebenen Kegelschnitte entsprechen, welche 91, 92 berühren, liegt daher auch auf der Geraden S23, S31; schneidet 91, 92, 93 resp. in Punkten S1, S1, S;