Alors, si les droites sont parallèles, en faisant a'a, on a, comme au n°. 149, le sinus nul, le cosinus égal au rayon, et la tangente nulle. Et si elles sont perpendiculaires, en faisant a' (n°. 144. 145), on a le sinus égal au rayon, le cosinus nul, et la tangente .

=—

151. L'angle des coordonnées étant toujours droit, on peut se servir des formules précédentes pour faire le chemin inverse de celui que nous venons de faire.

Ainsi veut-on que les lignes soient parallèles? on écrira la valeur du sinus égale à zéro, ou celle du cosinus égale au rayon, ou enfin celle de la tangente égale à zéro, et de l'une ou de l'autre de ces équations on tirera également a'a.

Veut-on que les lignes soient perpendiculaires? on écrira la valeur du sinus égale au rayon, ou le cosinus zéro, ou la tangente, et l'on obtiendra, de l'une ou de l'autre de ces équations, a'-; ou, ce qui revient au mème, 1+ad zéro; ou encore aa'-1 (*).

sin m

sin n

-1.

(*) En général a, et dans le cas actuel d=que ad = 1.

CHAPITRE IV.

Problèmes particuliers relatifs à la ligne droite.

152. SUPPOSONS deux axes rectangulaires, et une droite passant par l'origine des abscisses, l'équation de cette droite étant donnée, on demande celle d'une autre droite qui partagerait en deux parties égales l'angle que la première fait avec l'axe des x.

Soit y az l'équation de la première droite, et y=kx, celle de la seconde; on connaît a et l'on veut trouver k exprimé en a.

Or la seconde droite fait avec l'axe des x un angle dont la tangente est Rk ( nos.. 121 et 150), et elle fait avec l'autre droite un angle dont la tanR (a-k) (no. 150); et comme ces deux angles sont égaux, leurs 1+ ak deux tangentes sont égales; on a donc

gente est

Elle est double, parce que la droite donnée fait avec l'axe des x, deux angles, et qu'il y a par conséquent deux droites qui partagent ces angles chacun en deux parties égales.

Du reste on voit par l'équation (1) que le produit des deux valeurs de k égale -1 (Algéb. n°. 408); designant donc ces valeurs par k et k', on a kk' =— 1, ou kk' + 1 = 0; d'où il résulte que la droite qui passe au milieu de l'angle de la gauche est perpendiculaire à celle qui passe au milieu de l'angle de la droite (no. 151). Et il est facile de voir que cela doit être ainsi.

153. Elant donne l'angle que font entr'elles deux droites AB, AX, (fig. 49) déterminer dans l'intérieur de cet angle un point C tel que si de ce point on mène une parallèle à l'une de ces lignes, à AX par exemple, on ait CD=AD.

Prenons une des lignes, AX par exemple, pour axe des abscisses, et le sommet A de l'angle pour l'origine, supposons de plus que les axes se rencontrent à angle droit; celui des deux droites étant connu, si l'on divise sa tangente par le rayon, et qu'on appelle le quotient a, on aura (nos. 121. 122) yax pour l'équation de la droite AB, a étant donc connu. Maintenant si le point Cétait trouvé, et que l'on menât par ce point la droite AC, il est clair que tous les points de cette droite auraient la même propriété que le point C; c'est donc cette droite qu'il faut mener. Désignonsla par cette équation y=kx; il faudra trouver k inconnu, exprimé en a connu. Représentons les coordonnées du point C, par «, B, et celles du point D par a', B, nous aurons, par les équations de AB et de AC,

B = ax, B = kα... (2).

Or a est connu, et l'on peut supposer que a l'est aussi, parce qu'il résulte de ce que nous avons dit qu'on peut le prendre à volonté; on a donc

D'ailleurs la grandeur de AD est a2 + 62, et celle de CD est a— et ces deux quantités sont égales, ce qui donne :

a22 + ß2 = a2+ 2 aa'+ a2.

Effaçant les termes qui se détruisent, et substituant les valeurs de 2 et de a tirées de l'équation (2) et de l'équation (3), on trouve:

Cette équation étant la même que l'équation (1) du n°. précédent, prouve que la droite AC partage l'angle BAX en deux parties égales; il est donc facile de la mener et de trouver ainsi le lieu de tous les points C, qui ont la propriété indiquée.

Une droite perpendiculaire à AC, serait dans l'angle BAX' le lieu de tous les points ayant la même propriété í no. 152).

On peut remarquer que « a disparu de l'équation; c'est qu'en effet la valeur de k, ou, ce qui revient au même, la valeur de l'angle CAX, ne

dépend point de la grandeur de l'abscisse a, que l'on peut prendre à volonté, comme nous l'avons déjà dit.

154. Déterminer comment s'entrecoupent les trois perpendiculaires abaissées des trois sommets d'un triangle quelconque sur les côtés opposés. Si le triangle est rectangle, il est clair que les perpendiculaires en question s'entrecoupent au sommet même de l'angle droit.

Si le triangle est acutangle ou obtusangle comme AaC, fig. 50, pour avoir quelque chose d'uniforme, prenons le plus grand côté Aa pour l'axe des x et pour l'origine, et supposons que les coordonnées sont rectangulaires. Désignons le plus grand côté Aa par «, et les coordonnées du point C par a', ', l'équation de la droite AC sera de la forme y ax;

mais comme elle passe par C, on aura s'aa', d'où a =

B'

α

donc l'équa

tion de la droite AC deviendra y=x. Et par conséquent l'équation de la perpendiculaire « E, assujettie à passer par le point a («, zéro), sera....... (nos. 144. 145.) :

a

Sur quoi il faut observer que les quantités a, a, B, sont connues quand le triangle est donné; mais qu'elles restent indéterminées quand le triangle est quelconque, comme nous l'avons supposé.

Maintenant l'équation de la droite C, assujettie à passer par deux points « et C (α, zéro ) ( x', B′), sera (n°. 134):

et celle de la perpendiculaire assujettie à passer par le point 4 (zéro, zéro ) sera (nos. 144. 145);

Or les deux perpendiculaires que nous venons de considérer ont dans leur point de concours les mêmes coordonnées; ainsi dans leurs deux équations (4) et (5), y a la même valeur et x aussi (no. 142. 143). Les seconds membres de ces équations sont donc égaux et donnent:

d'où l'on tire bien vîte x = Il en résulte que la perpendiculaire abaissée du point G sur Aa, et qui est ici l'ordonnée y, aboutit au même point que celle qui est abaissée du point C sur la même ligne Aa; c'est-à-dire qu'elles se confondent.

Ainsi les trois perpendiculaires abaissées des trois sommets d'un triangle quelconque sur les côtés opposés, se coupent dans un seul et même point. D'où résulte pour les mener cette construction fort simple

par

Comme l'angle inscrit appuyé sur le diamètre est droit, il faut sur le plus grand côté Aa, pris pour diamètre, décrire une demi-circonférence, les points E et F où elle rencontrera les côtés du triangle ou leurs prolongemens, mener les droites « E et AF, puis par leur point de concours G et par le sommet C du triangle mener CG; ces lignes seront les perpendiculaires.

:

155. Avant d'aller plus loin faisons une observation assez importante. On a vu dans ce chapitre, et dans les chapitres 1 et 3 de la première partie deux méthodes bien différentes pour mettre en équation les problèmes de géométrie "l'une, dit Lacroix, consiste à déterminer les équations des lignes qui contiennent les points cherchés, en partant des propriétés de ces lignes;" c'est celle du chapitre actuel; « et l'autre à déduire immédiatement de la considération des triangles semblables et des triangles rectangles que présente la figure résultante du problème supposé résolu, en s'aidant même de quelque construction préparatoire, les relations des droites qui déterminent la position de ces points;" c'est celle des chapitres f et 3. "La première de ces méthodes, quelquefois plus élégante que la seconde, est toujours plus générale; mais la seconde est souvent plus simple; et cela doit être, puisque par celle-ci on prend les choses de moins haut, et qu'on part de propriétés plus voisines de celles qu'on cherche à découvrir. "

Voyez, par exemple, le problème du n°. 153, il n'est pas seulement besoin de le mettre en équation. Si on le suppose résolu, on a dans la fig. 49 CDAD, ensorte que le triangle ACD est isoscèle; les angles DCA, DAC sont donc égaux: mais DCA= CAX, à cause des parallèles, done DAC=CAX; donc la ligne AC partage l'angle BAX en deux parties égales.

156. Pour comparer les deux méthodes dans une question un peu plus difficile que celle-ci, reprenons celle du n°. 22 et essayons de la résoudre par les équations des lignes,