Étant donnés les trois côtés du triangle ABD, fig. 51, trouver sa surface. Rapportons ce triangle aux deux axes rectangulaires, AX, AY, dont un pourrait être dirigé suivant un des côtés, mais que nous placerons comme dans la figure pour rendre le calcul plus général. Afin d'avoir la hauteur du triangle, abaissons du point A, qui est l'origine, la perpendiculaire AP ou sur la base BD ou a, nous aurons pour la surface ad; il ne reste donc qu'à trouver d La perpendiculaire tombant sur BD, il faut pour avoir sa longueur établir d'abord l'équation de la droite BD. Or celle-ci passe par deux points Bet D (',') (u", 6"), son équation sera donc (no. 134): Dans cette équation le coéfficient de r est la valeur de la lettre a de la formule du n°. 147, qui nous donnera &, et le terme sans x ni y est la valeur de b de la mème formule. D'ailleurs « et 6, qui désignent là les coordonnées du point d'où part la perpendiculaire (no. 146), sont ici nuls, parce que ce point est l'origine. Il résulte de tout cela que : Mais dans notre triangle BD ou a vaut le dénominateur de cette valeur de ; donc - a Du reste, il ne faut point confondre cet a, qui exprime le côté BD, avec le a de la formule n°. 147; on a mis à la place de celui-ci sa valeur, et il a disparu, de même que le b de la formule, qui n'est pas non plus celui du triangle. Quant à la surface demandée on voit donc qu'elle vaut : Et cette expression mérite d'ètre remarquée, parce qu'elle donne la surface en fonction des coordonnées de la base, qui suffiraient ainsi seules pour calculer la surface, lors même que les côtés ne seraient pas donnés. Pour avoir cette valeur en fonction des côtés, comme dans le n°. 22, et comme le probleme le demande, il faut faire ici quelques transformations. Nous Nous avons vu d'abord que le dénominateur de ♪ avait pour valeur a, ou le côté sur lequel tombe; si on l'élève au carré, pour n'avoir plus de signe radical, on trouve : a22+a”2+ ß'2+B'2—2α'a" — 26′ß" — a2. = Mais ad2 et a"2+6"2=b2; retranchant ces valeurs de l'équation précédente, on a puis, en carrant, a'a'"+p's" = 1; (b®+d2 — a2) ; D'un autre côté on a (a'+2) (a''2 +ß'2) = b2 d2, ou, en effectuant la multiplication, a22 a"2 + B'2ß''ž + a22, ß'2 + a22 ß112 = b2 ď2 ; retranchant de ce résultat l'avant dernière équation, on obtient : a"12 ß'2 + x22ß′′12 — 2α'a'B'B" = b2 d2 — { (b2 + d2 — a2)3 ; extrayant la racine des deux côtés il vient : a"ß' — a's" = {√4b2 d2 — (b2+d2 — a3)2; - substituant enfin cette valeur dans la formule de la surface, on retrouve, comme au n°. 22: s = } √√ 4b2 ď2 — (b2+d2—a2)2. 157. NOUS CHAPITRE V. De la transformation des coordonnées. ous avons vu que l'équation de la ligne droite est plus simple quand cette ligne passe par l'origine; nous avons vu aussi que la plupart des formules relatives à la ligne droite se simplifient quand les coordonnées sont rectangulaires. Or nous pouvons bien prévoir qu'il y aura quelque chose d'analogue pour les équations des lignes courbes, suivant la manière dont l'origine sera placée et suivant l'angle que les axes feront entr'eux. Il pourrait donc être avantageux, lorsqu'on aurait l'équation d'une ligne, de savoir trouver la forme que prendrait cette équation en rapportant la ligne à d'autres axes; c'est cette opération qu'on appelle la transformation des coordonnées. Nous allons parcourir les cas suivans: 1°. changement d'origine et non de direction, 2o. changement de direction et non d'origine, 3°. changement d'origine et de direction. Changement d'origine et non de direction. 158. Soient AX, AY, fig. 52, les anciens axes, AX, A'Y', les nouveaux parallèles aux premiers. Les coordonnées de la nouvelle origine A', relativement aux anciens axes, doivent être connues, et nous les désignerons par ƒ et g. Cela posé les anciennes coordonnées du point M étant x, y, et les nouvelles x', y', on voit par la figure que l'on a x=ƒ+x', y=g+y'. Si l'on met donc ces valeurs à la place de x et de y dans l'équation donnée d'une ligne, on aura l'équation de la même ligne rapportée aux nouveaux axes. Mais il faudra prendre ƒ et g avec les signes convenables, suivant la manière dont la nouvelle origine sera placée relativement à l'ancienne. Par exemple, l'équation de la droite CN, fig. 43, étant y = ax + b, si on veut qu'elle passe par l'origine, il suffira de transporter l'axe des y a ', a parallèlement à lui-même jusqu'en C, sans changer l'axe des z, on aura donc ƒ-AC et g zéro. Mais pour savoir ce que vaut AC, il n'y a qu'à faire yzéro dans l'équation de la droite yax+b; on a alors O ax + b, d'où x = =- AC. Donc f= — 1/2, g = zéro ;.... donc x - 2 + x2, y = = y'; donc l'équation y = ax + b, devient.. y' = a (− 1 + x')+b, ou y' ax'; et c'est en effet ce qu'elle doit être puisque la droite passe par l'origine et que les angles m et n n'ont point changé. En partant de cette nouvelle équation et faisant le chemin inverse on retournerait à la première équation. a Par exemple encore, puisque nous avons eu y2= r2-x pour l'équation du cercle, quand les coordonnées sont rectangulaires et que l'origine est au centre (n°. 115), si nous voulons, en laissant les axes à angle droit, transporter l'origine à l'extrémité du diamètre, en A fig. 40, nous aurons fret g zéro, ce qui donnera x =—r + x' et y = y'; mettant ces valeurs dans l'équation de la courbe, elle deviendra y'22rx′— x'2. Et de celle-ci, qu'on appelle l'équation au sommet, on retournerait à l'autre, qu'on appelle l'équation au centre. Changement de direction et non d'origine (n°. 157). 159. Ce cas se partage en plusieurs autres: 1°. passage de coordonnées rectangulaires à des coordonnées obliques; 2°. de coordonnées rectangu laires à d'autres coordonnées rectangulaires; 3°. de coordonnées obliques à des coordonnéés rectangulaires; 4. de coordonnées obliques à d'autres coordonnées obliques. 160. Passage de coordonnées rectangulaires à des coordonnées obliques (ou quelconques ), Les axes AX, AY, fig. 53, deviennent AX, AY, et l'on suppose connus les angles XAX, XAY', que nous désignerons, pour abréger et pour les reconnaître sans figure, le premier par (xx') . le second par (xy); ces lettres assemblées n'indiquant donc point une multiplication. Les anciennes coordonnées du point M étant AP, MP, ou x, y, les nouvelles seront AP', MP', ou x', y'; et l'on aura x= AL+P'N, y=MN+PL. Or les triangles ALP, MNP', donnent, en faisant le rayon des tables égal à l'unité : 1: x':: cos (xx'): AL, 1: y':: cos (xy'): P'N, 1: x' :: sin (xx'): P'L, tirant de là les valeurs des quatrièmes termes et les substituant dans les équations précédentes, on a: ولا x=x'cos (xx') + y'cos (xy'), y=x'sin (xx') + y'sin (xy'). Par exemple, si le point M appartient à une ligne droite, dont l'équation soit y ax + b, et que l'on y substitue les valeurs ci-dessus de x et de on trouvera, après les réductions, une équation de cette forme. y' ix'b'; ensorte que dans la ligne droite, la même forme d'équation convient aux coordonnées rectangulaires et aux coordonnées obliques; et c'est ce que nous avions déjà pu remarquer. Il n'en serait pas de même de toutes les autres lignes, du cercle par exemple; supposons que le point M appartienne à cette courbe, dont l'équation au centre est y22x2, lorsque les coordonnées sont rectangulaires; substituons-y les valeurs de x et de y ci-dessus, elle deviendra: y'2 = r2 — x22 — 2 [sin(xx') sin(xy') + cos (xx') cos (xy') ] x'y'. Mais on sait par la trigonométrie (no. 91) que l'on a, lorsque le rayon des tables R égale 1, sin a sin b + cos a cos b =........ — cos (a+b) + cos (a−b) + cos (a+b) +¦ cos (a—b)= cos (a—b); d'où il résulte que le coefficient de x'y' vaut 2 cos(xy' — xx′ ) = 2 cos (x'y') = 2 cos v, cette lettre désignant toujours l'angle des deux axes. On a donc pour l'équation du cercle au centre et aux coordonnées obliques : y'2 = p2 — x'2 - 2x'y'. cos r. Pour que cette forme fut la même que celle de l'équation y2= r2 — x3‚. il faudrait que l'on pût avoir, dans tel ou tel cas, cosy zéro; mais le cosinus d'un angle ne peut être nul que quand cet angle est droit; donc dans le cas des coordonnées obliques l'équation contient toujours un terme en x'y' (*). (*) Si l'on avait voulu supposer immédiatement, sin (xx') sin (xy') + cos (xx) cos (xy') = o, on aurait eu, en divisant par le second terme, ou encore, parce que le rayon des tables est 1 (no. 85): |