Dans tout ceci nous anticipons un peu sur la théorie du cercle, mais il était assez nécessaire de faire quelques applications de la transformation. des coordonnées; et d'ailleurs il est d'usage que l'on prenne dans ces matières le cercle pour exemple, en raison de ce qu'on le connaît déjà par la géométrie; c'est aussi pourquoi nous en avons parlé dès le n°. 113. 161. Passage de coordonnées rectangulaires à d'autres coordonnées. rectangulaires (n°. 159).

Il n'est pas nécessaire de faire ici une nouvelle figure et un nouveau calcul, il suffit d'observer que les formules du numéro précédent peuvent facilement être modifiées pour le cas actuel. Lorsque l'angle (x'y') est droit, on a (xy): 100°+(xx'); or le complément de cet angle est — (xx'); donc alors sin (xy′)=cos (.xx′) et cos (xy')=—sin (xx'); substituant ces valeurs dans les formules précédentes, elles deviennent :

x = x' cos (xx′) — y' sin (xx'),

y=x'sin (xx') + y′ cos (xx′).

Si on les applique à la ligne droite et au cercle, les équations. y=ax+b, y22 — x2, deviendront yix + b', y'2 = r2 — x12; ensorte qu'elles n'auront pas changé de forme.

162. Passage de coordonnées obliques à des coordonnees rectangu laires (n°. 159).

Il faudra faire le chemin inverse du n°. 160, et supposant que les premiers axes sont AX', AY', fig. 53, et les seconds AX, AY, que les premières coordonnées sont x', y', et les secondes x, y, on traitera par l'élimination les équations du no. cité, pour en tirer les valeurs de x', y', exprimées en x,y; et si l'on se souvient que (n'. 88. (8)),

sin (xy') cos (xx') — cos (xy') sin (xx') = sin (xy'-xx'), puis si l'on remarque, dans la figure, que sin (xy' —xx') = sin (x'y'), on aura:

Or en considérant les nouveaux axes comme deux lignes droites rapportées aux axes rectangulaires AX, AY, on peut faire tang (xx)= tang m = a (nos. 121. 122), et tang (xy) tang m'a'; ce qui donne ad +1=0, ou ad=-1, et prouve (no. 151) que les droites AX, AY' sont perpendiculaires entr'elles quand on fait nul le coefficient de x'y'; ensorte que ce terme se trouve toujours dans l'équation avec des coordonnées obliques.

y = y cos (xx') — x sin (xx')
sin (x'y')

Changeant enfin, fig. 54, X en X, Y en F, et réciproquement; et faisant aussi le même changement dans les petites lettres, on obtiendra : x' sin (yx')-y'cos (ya') sin (xy)

Il est évident que dans ce cas l'équation de la ligne droite ne changerait pas de forme, et que celle du cercle en changerait; car c'est ici l'inverse du n°. 160.

163. Passage de coordonnées obliques à d'autres coordonnées obliques (n°. 159).

Supposons que nous avons les axes obliques AX, AY, fig. 55, passons d'abord, par le n°. 162, aux axes rectangulaires AX ou AX, AY, et de ceux-là nous irons, par le n°. 160, aux nouveaux axes obliques AX", AY".

Puisque l'axe AX' est le même que l'axe AX, ce que nous avons fait pour plus de simplicité, nous aurons l'angle (xx') = zéro, et les formules du n°. 162 donneront :

Mais ici et y ont des valeurs en x", y", que l'on pourra trouver par les formules du n°. 160, en y mettant x', y', à la place de x, y, et x", y", à la place de x', y'; on aura ainsi :

x'=x" cos(x'x")+y" cos(x'y"),

y=x" sin(x'x")+y" sin (x'y");

substituant enfin ces valeurs de x', y', dans celles de x, y, qui précédent, celles-là deviendront, après toutes les réductions, et au moyen du principe de trigonométrie cité n°. 162;

On remarquera que les x', y', ont disparu de ces formules, ces quantités ne nous ayant servi que comme intermédiaires pour arriver aux expressions de x, y, en x“, y′′.

On pourrait appliquer ces formules aux équations de la ligne droite et du cercle; mais nous avons suffisamment vu, en traitant de la première de ces lignes que son équation la plus générale est yax+b, soit pour un système de coordonnées rectangulaires, soit pour un système de coordonnées obliques quelconque. Et quant au cercle, l'équation du n°. 160 ne peut qu'être générale pour les coordonnées obliques, quand l'origine est au centre; ainsi les formules actuelles ne la changeraient pas : c'est ce que l'on pourra vérifier si l'on veut; mais le calcul est un peu long (*).

164. Du reste, quand on voudra transformer les coordonnées dans tel ou tel cas particulier, relatif aux nos. 160, 161, 162, 163, il faudra comparer ce cas avec celle de nos figures qui lui conviendra, pour voir si les axes sont situés les uns à l'égard des autres comme ils doivent l'être, et prendre

(*) On trouvera une équation de cette forme:

Ax"2+By+Cx"y"=r3,

et si l'on cherche à part les valeurs de A, de B, et de C, par les formules trigonométriques, on trouvera A=1, B=1, C=cos (x"y"); d'où il résulte que cette équation est bien la même que celle du n°. 160.

Voici le calcul pour A coefficient de "2. En désignant pour plus de simplicité (xx') par a, (yx") par b, on aura (xy)=a+b; cela posé le coefficient en question sera :

sin2 a + sin b + 2 sin a sinb cos (a+b).

sin (a+b)

Le numérateur deviendra successivement (nos. 88, 84);

sin asin b+2 sin a sin b (cos a cos b―sin a sin b);

sin2 a+ sin2 b+2 sin a sin b cos a cos b➡sin2 a sin2 b — sin2 a sina b ; sin2a+sin3b+2sin a sin b cos a cos b—sin2a (1—cos1b)—sin3b (1—cos3a). Faisant les multiplications et réduisant, on aura

2 sin a sin b cosa cosb+sin2 a cos2 b+sinab cos2a. Quant au dénominateur il deviendra d'abord (sin a cos b + cos a sinb)2, puis sin2 a cos1b+2 sin a sin b cos a cos b+sin2 b cos2 a ; ensorte qu'il sera égal au numérateur; et que le coefficient A vaudra 1. Le même calcul servira pour B, en faisant (xy")=a, (yy")=b ẹt. (xy)=a+b. Et cela mettra sur la voie pour faire la réduction de C.

convenablement les signes des quantités contenues dans les formules. Si par exemple l'axe des x', fig. 53, au lieu d'être en dessus de celui des x, comme il l'est ici, devait, dans un cas particulier, être en dessous, le sinus de l'angle (xx') serait en -, mais son cosinus resterait en +. Etc.

Changement d'origine et de direction (n°. 157).

165. Si on voulait passer d'un système de coordonnées à un autre, en changeant non-seulement la direction des axes, mais encore le point d'origine, il est évident qu'il faudrait combiner la règle du n°. 158 avec quelqu'une de celles qui la suivent.

Pour passer, par exemple, de coordonnées rectangulaires à des coordonnées quelconques, en changeant d'ailleurs l'origine, on aurait, par les

numéros 158 et 160:

x=ƒ+x'cos (xx')+y' cos (xy),

y=g+x' sin (xx') +y' sin (xy′ ).

En appliquant cela à l'équation du cercle x2+y2-ro, dans laquelle les coordonnées sont rectangulaires et l'origine au centre, si on voulait conserver l'axe des x, incliner vers lui celui des y, et transporter l'origine sur la courbe dans le sens des x en moins, on aurait ƒ—r, g=0, (xx′)=0, sin (xx')=o, cos (xx')=R=1, (xy')=y, alors les formules précédentes deviendraient :

x=x+cos ry'-r

y = sin v y';

substituant ces valeurs, ou leurs carrés, dans l'équation du cercle, elle deviendrait, après les réductions, et en òtant les accens:

x2+2 cos r. xy + y2-2rx-2r cos v.y=0;

c'est l'équation au sommet pour les coordonnées obliques ou quelconques. N. B. Je dis quelconques, parce qu'en supposant simplement cos yo, on se retrouverait dans les coordonnées rectangulaires. On pourra étendre cette observation à d'autres cas.

CHAPITRE

CHAPITRE VI.

De la ligne circulaire: équations, construction des équations, propriétés de cette courbe.

166. Nous avons déjà parlé plusieurs fois du cercle, parce que cette courbe très-simple et très-connue était très-propre à servir d'exemple pour le développement de certaines théories qui devaient nous occuper; nous allons maintenant en traiter spécialement.

Il résulte de la manière de décrire le cercle que tous les points de la circonférence sont à une même distance du centre; cherchons d'après cela son équation la plus générale. Supposons que le cercle de la fig. 56 soit placé d'une manière quelconque relativement aux deux axes AX, AY, qui font entr'eux un angle à volonté ; il faudra exprimer que pour chaque point M de la courbe, la distance CM est toujours la même. Or si on mène l'ordonnée MP et qu'on fasse passer par le centre une sécante indéfinie parallèle à l'axe des x, on aura, en général, par l'intersection de ces lignes, un triangle CMI, qui donnera pour chaque point M (n°. 100. 137):

COS Y

CM2=CIˆ+IM2+2C1×IM×· R

Or si l'on désigne par la constante CD, qui est égale à l'abscisse du centre, et par k la constante IP, qui est égale à l'ordonnée de ce même point, on aura, dans la disposition de la figure, Cl=x-h, IM=y—k, et représentant toujours par e, et le rayon du cercle par r, l'équation précédente deviendra:

COS Y
R

r2 = (x − h)2+(y−k)2 + 2e (x − h) (y—k)... (1).

Si l'ordonnée MP tombait à gauche du centre, on aurait Cl=h~x; mais l'angle opposé à CM étant alors même, cela n'introduirait aucun changement dans l'équation (no. 137).

Voilà donc l'équation la plus générale du cercle; en la développant et l'ordonnant on peut lui donner cette forme: