une distance égale à la constante r, puisque chaque nouvelle abscisse a' est de cette quantité plus courte qu'elle n'était (n°. 158).

Nous reconnaitrons ensuite que notre courbe est un cercle dont le rayon est r, et dont le centre est la nouvelle origine; ensorte que l'ancienne, ou celle de l'équation proposée, est à l'extrémité du diamètre, savoir en A, fig. 57.

Enfin nous verrons que si la somme des carrés des coordonnées, représentée par 2rx, est variable, c'est qu'en effet AM2, qui vaut y2+ x2 ou 2rx, est variable, puisque la corde AM l'est.

En donnant à l'équation ces deux formes:

y=±√/2rx—x2,

x=r±√r2 — y2,

on verra, par la première, que la courbe est toute pareille des deux côtés de l'axe des x; on verra, par la seconde, que pour une même valeur de y on a deux valeurs de x inégales, et dont la différence est 2√/r2 — y2 = 2 Cx ; ou, ce qui revient au même, qu'il y a toujours en dessus de l'axe des x deux ordonnées égales placées à égale distance à droite et à gauche du centre, et de même en dessous de cet axe. On verra aussi que chaque abscisse est der plus grande que dans l'équation au centre.

=

En faisant dans la première forme x=o, on aura yo; lorsqu'on fera x+r, on aura y=r; lorsqu'on fera x+2r, on aura y = 0; quand on supposera x > 2r, l'ordonnée y sera imaginaire ou impossible, et il en sera de même pour toute valeur de xen-; ensorte que la courbe est toute d'un côté de l'axe des y, quoique partagée en deux parties égales par l'axe des ; et elle ne se retrouve plus au delà du point B.

Toutes les valeurs de x étant donc comprises entre o et 2r, si on veut savoir comment marcheront les y entre ces limites, on prendra l'équation sous cette forme y2 + (x − r)2= r2, et l'on en tirera:

y= ±√r2~(x − r)2.

....

(B).

(A)....y = ±√/r2—(r−x)2, On verra alors, par (A), que pendant l'accroissement de ≈ depuis o jusqu'à r la fonction (r-x)2 diminuera, ensorte que ra — (r — x)2 augmentera, et par conséquent y, qui vaudrar quand x aura aussi atteint la longueur de r. L'abscisse x surpassant ensuite r et continuant d'augmenter, on verra par (B), que (x —r)2 ira en augmentant, ensorte que r2 — (x — 1.)2 ira en diminuant, et par conséquent y, qui sera nul quand x aura atteint la longueur 2r.

120 LIGNE CIRCULAIRE; ÉQUATIONS, PROPRIÉTÉS, etc.

Maintenant si l'on fait attention à ceci, que l'équation au centre ne change point lorsqu'on passe de coordonnées rectangulaires à d'autres coordonnées rectangulaires, et que de l'équation au centre, en transportant l'origine à la circonférence, on tire toujours la même équation au sommet, si, dis-je, on se souvient de cela, et qu'on le combine avec ce que nous avons dit de l'équation x = r±√r2—y3, on trouvera facilement toutes les propriétés des cordes et du diamètre dont nous avons parlé au no. précédent.

Quant aux autres propriétés du cercle, on les conclura de l'équation au sommet, tout aussi facilement que de l'équation au centre.

"

CHAPITRE

CHAPITRE VI I.

Propriétés des sécantes, des tangentes, des normales, et des cordes

supplémentaires.

171. POUR OUR suivre maintenant d'une autre manière la rencontre du cercle avec la ligne droite, essayons de combiner les équations de ces lignes, en prenant pour la courbe son équation au centre, puisque c'est la plus simple. Supposons une droite GM, fig. 59, menée dans le plan d'un cercle, par un point G (α, B), et de manière à rencontrer la circonférence; voyons comment elle la rencontrera.

L'équation du cercle rapporté aux axes XX', YY', qui se coupent à angles droits dans son centre, est

x2 + y2 — r2 = 0;

celle de la droite assujettie à passer par le point G est (no. 139)

Mais pour chaque valeur de x les valeurs de y de la droite et du cercle different, sauf dans leurs points communs; ainsi supposer ces valeurs les mêmes, c'est chercher les points où les lignes se rencontrent (n°. 142. 143). La seconde équation donne :

Substituant cette valeur de y2 dans l'équation x2+ y2 — r2=o, on trouve tout de suite :

(*) Il faut observer qu'en supposant ẞ en plus, a peut être en plus ou en moins, parce qu'il peut être à droite ou à gauche du centre. La quantité a peut aussi être en plus ou en moins, suivant la position de la droite relativement aux axes. Nous allons faire le calcul comme si a et a étaient en plus, de même que 8; il sèra facile de modifier les résultats obtenus, suivant les différens cas particuliers qui pourront se présenter.

(1+a2) x2-2a (aa — ß) x + ( a α — ß)? — p3=o... (2).

Ces équations étant l'une du second degré en x et l'autre du premier degré en y, nous apprennent qu'il y a en général deux abscisses dont chacune répond à une ordonnée commune à la droite et à la courbe, ou qu'une droite peut rencontrer une circonférence en deux points, mais non en trois. Or toute droite qui rencontre ainsi la circonférence en deux points s'appelle une sécante.

Si on résolvait l'équation (2) pour en tirer deux valeurs de exprimées en a, b, r, et a, et qu'on mît successivement ces valeurs à la place de x dans l'équation (1), on obtiendrait les deux valeurs de y correspondantes: on aurait ainsi les coordonnées des points communs M, M'.

sin m

cos m

172. Remarquons que a === gle que la droite fait avec l'axe des x. Si cet angle augmente son sinus augmente et son cosinus diminue, du moins jusqu'à ce que m soit droit; ainsi a augmente aussi. Le contraire a lieu si m diminue. Et il est évident que si le point G est au dehors du cercle, la droite en tournant sur ce point peut cesser de rencontrer la courbe; alors les valeurs de x seraient imaginaires. Mais en écartant cette supposition, il nous reste à voir si les deux points d'intersection de la droite et du cercle ne pourraient pas, dans quelques cas, être réduits à un, ou si les deux valeurs de x ne pourraient pas se réduire à une.

(nos. 121. 122), m étant toujours l'an

Voyons d'abord si l'équation (2) ne peut jamais être abaissée au premier degré. Il faudrait pour cela qu'on eût 1+a2 =。 ou a = √—1, ce qui est impossible.

Voyons ensuite şi l'équation restant du second degré les deux valeurs de x ne peuvent jamais devenir égales. Il est évident qu'il suffirait pour cela que cette équation fût un carré parfait, ou que son dernier terme fût égal au carré de la moitié du coefficient du second, du moins lorsqu'on l'aurait écrite ainsi :

On aurait donc alors, en mettant A au lieu de a pour distinguer mieux la valeur de cette lettre qui peut convenir à la tangente:

ce qui peut dépendre de la valeur de A, ou de la grandeur de l'angle m; car, B, et r sont des quantités qu'on se représente données.

Il faut donc tirer de cette équation de condition la valeur de A, et traiter cette lettre comme l'inconnue qu'on doit maintenant trouver. En faisant disparaître les diviseurs, développant les carrés, effectuant les multiplications, réduisant, etc., on obtient :

Quand A aura cette valeur l'équation (2) sera un carré parfait, qui ne donnera qu'une seule et même valeur pour a; ensorte que la droite et le cercle n'auront qu'un point commun: car s'il n'y a qu'une valeur pour x il n'y en a qu'une pour y, puisque l'équation (1) est du premier degré,

Or 1o. si le point G était dans le cercle, comme on aurait a2+2 < qiz ; la valeur de A serait imaginaire ; c'est-à-dire qu'alors il y aurait nécessairement deux valeurs de x, ou deux points d'intersection.

(*) On trouverait aussi ce résultat en observant que le coéfficient du second terme de l'équation précédente pris en plus est la somme des deux valeurs de x, qui étant ici supposées égales en valent chacune la moitié, et que le dernier terme étant le produit de ces mêmes valeurs, chacune en vaut dans ce cas la racine carrée (Algéb. d'Emile nos. 404. 408).

(**) Si on voulait que l'origine fût au sommet, il faudrait mettre dans cette formule a-r à la place de «, et l'on aurait pour ce cas :