Mais, sans aucun calcul, ce résultat nous dit plusieurs choses; car on peut y satisfaire de deux manières; c'est-à-dire en faisant ou aa' α zéro, ou aa' + 1o. Or, 1°. quand aa' zéro, on a encore ou ao, ou aa+1=o. = a'o, ou l'une et l'autre de ces quantités nulles; ce qui signifie que l'une ou l'autre des deux droites, que l'on appelle dans ce cas cordes supplémentaires, ou toutes les deux ensemble, peuvent être couchées sur l'axe des x; et il est bien clair en effet que les trois lignes auront alors ou un ou deux points communs. 2°. Quand aa' + 1 = o, les deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre (no. 151. Voyez aussi le 150); ensorte que l'angle inscrit appuyé sur le diamètre est droit. 183. Si l'on n'eût pas désiré de connaître la valeur des coordonnées communes, et qu'on eût voulu seulement trouver le rapport que les deux angles doivent avoir entr'eux pour que les droites se rencontrent sur la circonférence, on aurait pu faire un calcul plus simple et plus prompt. En multipliant entr'elles les équations des deux droites, on aurait tout de suite: et comparant ce produit avec l'équation du cercle écrite ainsi : la seule inspection de ces formules donnerait aa' — 1. Mais on n'aurait pas ainsi les valeurs de x et de y; et le résultat .. ¡ aao aurait disparu. Ce résultat, rigoureusement parlant, n'apprend rien, mais il peut servir d'exemple aux commençans de cette grande vérité, que le calcul algébriqué peut indiquer, jusque dans les plus petits détails, tous les cas particuliers renfermés dans une question générale. Du reste c'est l'habitude du calcul et l'attention qui peuvent faire reconnaître dans chaque cas les procédés les plus prompts pour arriver à ce que l'on cherche. "On voit, par cet exemple, dit Biot, que lorsqu'on doit combiner ensemble plusieurs équations, pour en éliminer certaines quantités, il est quelquefois possible d'abréger l'opération par des procédés plus ou moins ingénieux; mais en profitant de ces artifices pour rendre les calculs plus élégans et plus simples, il ne faut jamais voir dans les changemens qu'ils opèrent, que le résultat et l'effet de l'élimination. Et comme les divers procédés que l'on peut employer pour éliminer, introduisent quelquefois des facteurs étrangers à la question, ou en font disparaître, il faudra s'assurer que l'on a réellement trouvé le nombre de facteurs convenable; ce qui sera toujours indiqué par le nombre et le degré des équations entre lesquelles on a dû éliminer, " CHAPITRE VIIL Des positions respectives de deux cercles. RECHERCHONS 184. LECHERCHONS maintenant dans quelles circonstances peuvent être placés deux cercles l'un à l'égard de l'autre. Pour qu'il y ait quelque liaison entr'eux, il est évident qu'on doit les rapporter aux mêmes axes; nous mènerons donc une droite par les deux centres et nous la prendrons pour l'axe des ; puis, pour simplifier la discussion des formules, nous supposerons toujours le plus grand des deux cercles, s'ils ne sont pas égaux, placé à la gauche de l'autre, son rayon sera r et son centre sera l'origine des abscisses, que nous prendrons en + en allant vers la droite. Alors la distance des centres, désignée par d, marchera dans le même sens et ne sera jamais en - L'équation de ce cercle sera: y2 + x2 = r2. Le second cercle, égal à l'autre ou plus petit que lui, et dont nous désignerons le rayon par r, aura pour équation, comme il est facile de le voir, fig. 63 et 64: y2+(±d=x )2 = p12 ̄ ` D'ailleurs, ou ces cercles ne se rencontreront pas, ou ils se rencontreront, et dans ce dernier cas ils auront pour le même x le même y dans chacun de leurs points communs; cherchant donc, par l'élimination, les valeurs de ces coordonnées communes (nos. 142. 143), nous obtiendrons pour : et, suivant la manière dont nous aurons fait le calcul, nous trouverons pour you l'une ou l'autre de ces formules: Du reste dès qu'on en aura trouvé une on pourra en conclure les autres, si l'on remarque l'analogie qu'elles ont avec celles du n°. 22. C'est même plus qu'une analogie, c'est une identité; car quand deux cercles se coupent, comme dans la figure 64, on peut former un triangle AMC avec dr, r', dont la base est d et la hauteur y; et dans le n°. 22 nous avions aussi un triangle formé par les trois côtés a, b, d, fig. 5, dont la base était a et la hauteur x. Les valeurs de x de ce numéro-là sont donc celles y de celui-ci. de Examinons maintenant les résultats de ces formules. 185. Si les cercles ont le même centre, d sera nul, et chacune des quatre formules donnera également r=r'; c'est-à-dire que dans ce cas les cer- cles doivent avoir des rayons égaux pour se rencontrer, et nous avons supposé cette rencontre en calculant nos formules. Mais comment se rencontrent-ils ? Si l'on fait do et rr'; on trouve x et y = F. Ces valeurs indéterminées peuvent donc être prises à volonté; du moins entre les limites où le cercle existe, et dans les rapports que cette courbe admet. En d'autres termes, si l'on calcule les valeurs de tant de coordonnées correspondantes que l'on voudra pour un des cercles, elles conviendront toutes à l'autre ; et par conséquent les deux cercles dans ce cas n'en font qu'un (Géom. Liv. V. n°. 53). Si les cercles, ayant le même centre, n'ont pas le même rayon, le résultat, qui résulte de la supposition que do, prouve qu'on ne peut pas supposer en même tems que deux cercles ont le même centre, que leurs rayons sont inégaux, et qu'ils se rencontrent. En faisant donc les deux premières suppositions, on rejette la troisième; ainsi dans ce cas les cercles ne se rencontrent pas, et il est évident qu'ils sont concentriques (Géom. Liv. V. n°. 55). 186. Si les cercles n'ont pas le même centre, d n'est pas nul, et quoique l'abscisse x soit toujours possible, comme l'indique la formule, l'ordonnée y ne l'est pas toujours. Il est clair que si cette ordonnée est imaginaire les cercles ne se rencontreront pas; cela aura lieu, comme on le voit dans (A), (B), (C), lorsqu'on aura d2+p'22 2dr^, p2 + p12 — d2>2rr' ; cherchons ce que cela signifie. La première inégalité donne successivement: d2 — 2dr + r2 > pla, d-r>r', d>r+r. (D). .... La seconde conduit au même résultat; et la troisième fournit celui-ci, en la traitant comme la première : Ainsi les cercles ne se rencontrent point quand la distance des centres est plus grande que la somme des rayons, ni quand elle est plus petite que leur différence. Dans le premier cas, les cercles sont placés hors l'un de l'autre, à une distance déterminée par la valeur de d relativement à celle des rayons, qui du reste peuvent être égaux. Dans le second cas, les cercles sont au dedans l'un de l'autre, et leurs rayons ne peuvent être égaux, car alors la distance des centres, qui est plus petite que leur différence, serait moindre que rien (Géom. Liv. V. n°. 56. 64). 187. Si y est possible, tout comme x, les cercles se rencontreront; cela arrivera certainement, comme on le voit dans (A), (B), (C), quand on ce qui prouve, en le combinant avec (E), que les cercles se coupent, fig. 64, 1 |