n'est pas celle de AM'. Celle-ci se trouverait par (3), qui donnerait . . . ♪ = + r. En effet le point M' est aussi sur l'axe des l'arc AM' vaut 2 ou ĝ, c'est-à-dire qu'il est la sixième partie de la circonférence, et par conséquent sa corde AM' est le côté de l'hexagone régulier inscrit; mais la seconde valeur de est encore insignifiante.

198. Enfin pour ramener la question du n°. 179 au cas particulier de la question actuelle, dans lequel les coordonnées sont rectangulaires, fig. 57, il suffirait de faire dans la formule (E) du numéro cité, ar et B = 0, on trouverait ainsi, pour calculer AM,

équation dans laquelle le radical ne peut pas être pris avec deux signes différens, parce qu'une droite faisant avec l'axe des r un angle à volonté ne rencontre jamais le cercle en plus de deux points; c'est ce que nous avons déjà observé au no. 179.

Cela posé cette équation prouve d'abord qu'une des valeurs de est nulle, et en effet le point de départ est ici placé sur la courbe même; elle donne ensuite pour l'autre valeur de ,

ce qui ne fait qu'une distance proprement dite, d'après les observations précédentes sur le signe unique du radical.

СНАРІTRE X.

Des sections coniques en général; définitions diverses, équations, rapports de ces courbes entr'elles.

199. Nous allons maintenant parler de trois courbes connues fort an

ciennement des Géomètres, la Parabole, l'Ellipse et l'Hyperbole. Ce qu'Archimède nous a laissé sur cette matière prouve qu'on s'en était occupé avant lui, et Apollonius, qui vint ensuite, composa, il y a déjà deux mille ans, un bon ouvrage élémentaire sur ces courbes. On a eu depuis lors ceux de Grégoire de St. Vincent, de la Hire, de Guisnée, de l'Hôpital, de La Chapelle, etc.; et enfin Descartes, Newton, Euler, et Cramer ont donné des traités très-étendus sur toutes les courbes en général.

Il faut observer à cet égard, que les premiers auteurs que nous venons de citer, jusqu'à Guisnée, n'ont point fait usage de l'Algèbre dans leurs démonstrations; les uns ne pouvant se servir d'un instrument qu'ils ne connaissaient pas encore, les autres n'osant peut-être pas s'écarter de la méthode des anciens.

Ces courbes ont reçu, dès leur origine, le nom de Sections coniques, parce qu'elles résultent de l'intersection du plan avec la surface du còne droit ou oblique. Mais on peut encore les décrire par différens procédés, ou les tirer de l'équation générale à deux indéterminées du second degré. Les anciens, qui les ont observées les premiers, ont ignoré leurs usages dans la physique et dans les arts; la Parabole est la courbe que décrivent en tombant les corps qu'on lance parallèlement ou obliquement à l'horison; elle sert donc dans le jet des bombes; elle sert aussi dans l'excavation des mines, dans les porte-voix, dans le calcul du cours des comètes. L'Ellipse est la courbe que décrivent les planètes autour du soleil, et les satellites autour de leurs planètes principales; elle est utile dans l'optique, dans la construction des porte-voix et des cornets acoustiques, dans le calcul des voûtes. L'Hyperbole se rencontre de même dans quelques-uns des phénomènes de la nature, et elle trouve aussi quelquefois son application dans l'optique. Les trois courbes s'emploient enfin pour la résolution de certains

problêmes de géométrie transcendante, et pour la construction des équations du troisième et quatrième degré.

Quant à leur nature, elles ont entr'elles et avec le cercle de très-grands rapports; c'est ce qu'on aperçoit bientôt lorsqu'on les tire des sections du cône, ou de l'équation générale à deux indéterminées du second degré. Mais en suivant ce dernier procédé, elles ne paraissent être au premier moment que des êtres fantastiques, dont les contours ne se dessinent pas à nos yeux, et que nous ne connaissons que sur parole. Leur description par le mouvement continu d'un style, nous met bien plus vîte en contact avec elles, et nous les montre d'ailleurs comme à nud et sans accessoires étrangers nous assistons alors à leur formation, et nous voyons naître avec elles les points et les lignes auxquels on doit les rapporter. C'est à peu près ainsi que nous les offre la nature, quand nous suivons de l'oeil le mouvement d'un projectile, ou celui d'un corps qui circule autour d'un point. En revanche, nous n'apercevons pas tout de suite, de cette manière, les rapports qu'elles ont entr'elles, nous ne voyons pas assez que ce sont des individus unis entr'eux par les noeuds les plus étroits et ne composant, pour ainsi dire, qu'une seule et même famille. Essayons donc de suivre une marche qui participe aux avantages de ces diverses méthodes.

200. Soient XX', YY', fig. 69, 70, 71, deux axes indéfinis et rectangulaires; par un point T', pris sur l'axe des x, à une certaine distance de l'origine 4, menons l'indéfinie T'LG' faisant avec cet axe, ou un angle de 50°, fig. 69, ou un angle plus petit, fig. 70, ou un angle plus grand, fig. 71, mais en général moindre qu'un droit; faisons AF AL, puis ayant élevé sur l'axe des x, jusqu'à la rencontre de la ligne T'LG', tant d'ordonnées FG, PN, PN, etc. que nous voudrons, supposons que l'indéfinie FAX' tourne sur le point F, comme sur une espèce de centre, et vienne rencontrer successivement les différentes ordonnées; qu'en même tems le point A parcourre l'indéfinie mobile, et passe avec elle par les points M, Gˆ, M, etc., les deux mouvemens se réglant d'ailleurs l'un l'autre de manière que le point A, toujours placé sur la ligne tournante, se maintienne à une distance de F telle que l'on ait chaque FM égale à l'ordonnée correspondantę PN, nous aurons une courbe dont nous allons rechercher l'équation, On a dans les trois figures:

MPMF-PFNP-PF;

désignant AF AL par 1, chaque ordonnée NP de la droite T'LG' par z, et chaque ordonnée MP de la courbe par y, on obtiendra :

y2 = z2 — ( ±x + 1)2.

Mais l'équation de la droite T'LG' étant zhx+1, si on substitue dans la précédente égalité cette valeur de z, on aura, toutes réductions faites:

y2 = 2l ( 1 + h) x − ( 1 — h2 ) x2

c'est l'équation générale de la courbe, pour tous les cas.

(v);

1o. Si l'angle m que la droite T'L G' fait avec l'axe des x est de 50°, fig. 69, son sinus est égal à son cosinus, et l'on a h= = 1; alors l'équation se réduit à

sin m
cos m

C'est à cause de l'égalité du sinus avec le cosinus, ou de AL avec AT1, ou du carré de l'ordonnée avec le rectangle de l'abscisse par la constante générale 27 (1+h), c'est dis-je à raison de cette égalité, ou si l'on veut de cette similitude, que la courbe a reçu, dans ce cas, le nom de Parabole. 2o. Si l'angle m < 50°, fig. 70, le sinus est moindre que le cosinus, ensorte qu'on a h <,1 et h2 < 1, alors le coefficient de x2 reste négatif, et l'équation conserve sa forme :

y2 = 2l ( 1 + h) x − ( 1 — h2 ) x2 (2).

C'est parce que le sinus est ici plus petit que le cosinus, ou que AL est plus petite que AT', ou enfin parce que le carré de l'ordonnée est moindre que le rectangle de l'abscisse par la constante 27 (1+h), et cela de toute la quantité (1 — h2) x2, c'est dis-je à raison de ce retranchement qu'on a donné à la courbe actuelle le nom d'Ellipse.

3o. Si l'angle m > 50°, fig. 71, le sinus surpasse le cosinus, et l'on a h> 1 et h2 > 1; alors le coefficient de x devient positif, et l'équation (U) peut s'écrire ainsi :

y2 = 21 ( 1 + k) x + ( h2 − 1 ) x2 · (3)..

....

On a donc sin m> cos m, AL > AT' et le carré de l'ordonnée surpasse le rectangle de l'abscisse qar la constante 2/ (1+h) de toute la quantité (h2 — 1) x2. Or c'est à cause de cette augmentation que cette dernière courbe prend le nom d'Hyperbole,

201.

204. L'angle AT'L étant de 50° dans la parabole, fig. 69, on a toujours FM=NP=T'P, et par conséquent FM > FP; ensorte que la courbe ne rencontre l'axe des'a qu'au point A d'où elle part. Mais si on répète au-dessous de cet axe la construction que l'on a faite au-dessus, on verra que la parabole est composée de deux branches égales qui s'écar tent indéfiniment l'une de l'autre. Quant aux deux autres courbes, chacune d'elles passe deux fois sur l'axe des r, comme on peut le voir par les figures 70 et 71; car si l'on mène par F l'indéfinie F1, faisant avec l'axe des un angle de 50°, elle rencontrera l'indéfinie T'LG' au-dessus de cet axe dans l'ellipse et au-dessous dans l'hyperbole ; et IB étant l'ordonnée du point d'intersection, on aura IBFB: ensorte que la courbe se retrouvera en B sur l'axe des x. Mais dans l'ellipse FI s'éloignant ensuite de l'axe plus que T'LG', les ordonnées NP à cette dernière ligne seront dès lors plus courtes que les FP correspondantes, et il n'y aura plus de courbe au delà de B, tout comme il n'y en a point en deçà de A. Tandis que dans l'hyperbole le contraire aura lieu, et la courbe, manquant de A en B, se retrouvera au delà de B. En suivant d'un peu plus près ces détails, et en répétant d'un côté de l'axe des x la construction faite de l'autre, on verra que l'ellipse est une courbe rentrante fermée et limitée, et que l'hyperbole est composée de quatre branches égales, s'écartant de deux en deux indéfiniment l'une de l'autre, et formant en quelque sorte deux courbes opposées par leur convexité. Tout cela résulte plus simplement encore des équations de ces courbes, comme il est facile de le voir en faisant dans (1), (2), (3), y = o, pour savoir où la courbe rencontre l'axe des x, en donnant ensuite à ≈ différentes valeurs en plus et en moins, pour obtenir la valeur réelle ou imaginaire des ordonnées correspondantes, et en observant que, par la forme des équations, on obtiendra, en général, pour chaque abscisse, deux ordonnées égales et de signe contraire. Mais il était bon de suivre de l'oeil la formation de ces courbes, d'après le procédé que nous avons adopté pour les décrire.

Essayons maintenant de simplifier les équations (1), (2), (3); ce sera faciliter la recherche des propriétés de nos courbes.

202. Si nous comparons le demi-coefficient de ≈ de l'équation générale (U), savoir / (1 + h), avec le second membre de l'équation. . . z=hx+1, qui est celle de la droite T'LG', nous verrons que ces deux quantités deviennent égales quand on fait dans la dernière x = 1; mais en

V