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SECTIONS CONIQUES: DEFINIT. ÉQUAT., etc.,

met et au centre d'une hyperbole dont les axes 2c' et 2c sont égaux (no. 206), et qu'on appelle, à cause de cela, hyperbole équilatère. On voit par ces équations, comparées à celles du cercle y2 2cx — x2 et y2 = c2 — x2, l'analogie qu'il y a entre ces deux courbes.

212. Au reste il est évident que les équations générales que nous avons eues pour les sections coniques, ne sont pas les plus générales que l'on pût obtenir, puisque nous avons toujours supposé les axes rectangulaires, et l'origine placée ou au sommet ou au centre. Ensorte que ces équations ne nous ont point pu redonner l'équation générale du cercle trouvée au n°. 166, et qui n'aurait été qu'un cas particulier de l'équation générale des sections coniques, si nous avions commencé par cette équation.

Mais nous avons traité d'abord de la ligne circulaire, parce que nous en connaissions déjà les propriétés, et que nous voulions voir comment elles étaient représentées par les formules de l'algèbre (n°. 166); cet exercice devant d'ailleurs nous donner plus de facilité pour d'autres recherches.

En abordant ensuite les sections coniques, nous avons donné au no. 199 les raisons que nous avions pour les décrire comme nous l'avons fait.

Enfin, quoique nous eussions pu conclure de ce procédé même l'équation la plus générale de ces courbes, nous avons préféré commencer par une équation moins composée et qui convînt cependant à toutes; d'autant plus que lorsqu'on discute les équations des courbes, pour reconnaître les propriétés de ces lignes, on tend toujours à les réduire aux formes les plus simples possibles.

CHAPITRE XI.

Propriétés des foyers, de la directrice, des rayons vecteurs, et des ordonnées.

213. L'ÉQUATION Z = hx+l (no. 200), ou, ce qui revient au même, FM hx+1, prouve que, dans les trois sections coniques, la distance du foyer F à chaque point de la courbe est une fonction rationnelle de l'abscisse correspondante : c'est-à-dire que het l étant supposés rationnels, si x l'est, FM le sera aussi. On ne le voit dans cette équation que pour un des foyers; mais ce que l'on peut affirmer de l'un de ces points, on peut aussi l'affirmer de l'autre ; comme cela est évident par le n°. 210.

Recherchons si quelqu'autre point aurait cette propriété. Représentons par ♪ la distance d'un point quelconque (x, y), pris dans le plan de la courbe, à un point de la courbe même, il est clair qu'on aura

♪2 = ( y − y' )2 + ( x −x′ )2, oụ

♪2 = y2 — 2yy' + y'2 + x2 — 2xx" +x'2.

d

Mais on voit par (U) que ♪ ne peut être rationnel en x que dans le cas où le terme - 2yy', qui contient la première puissance de y, serait nul; fai

sons donc en effet • 2yy! = 0, et y = 0; il vient ainsi :

82 = y2 + x2 - 2xx′ + x22,

*=27 (1+ h) x − ( 1 — h2 ) x2 + x2 — 2xx′+ x22,

♪2 = h2x2 + 2 [ 7(1 + h) — x'] x + x22.

Or le second membre de cette équation ne peut être un carré que dans le cas où l'on a 1 ( 1 + h ) − x' = hx', et par conséquent l :

Z ( 1 + h) = x' ( 1 + h), ou x' = 1. Et puisque les coordonnées du point cherché sont / et zéro, ce point n'est autre chose que le foyer F.

Il semblerait d'abord qu'on ne trouve jamais ainsi qu'un seul point qui ait la propriété indiquée; mais ce que l'on dit d'un des foyers, on peut le dire de l'autre ; et d'ailleurs on peut tirer de (12), pour l'ellipse et pour l'hyperbole :

ce qui donne, dans chacune de ces courbes, deux valeurs pour x'= 1; parce qu'alors la quantité / est considérée comme la distance du sommet à l'un des foyers quelconque.

De plus, dans l'ellipse, c2 — c'2 = CF2, (no. 208), et dans l'hyperbole, c2+ c'2=CF (n°. 208); ainsi l'on a, pour la première et pour la seconde de ces courbes :

Ensorte que les deux foyers ont en effet la propriété indiquée; mais cette propriété n'appartient à aucun autre point.

Du reste, si dans l'ellipse et l'hyperbole on voulait compter les abscisses depuis le centre, la conclusion ne changerait pas, puisqu'il suffirait de mettre dans les formules x + c à la place de x, s'il s'agissait de l'ellipse, et x —c s'il s'agissait de l'hyperbole (n°. 209 ).

214. Puisque dans la parabole h=1, on a, par le n°. 213, . FM=x+1=AP + AT' = T'P. Donc si par le point T', où la droite T'LG' rencontre l'axe des x, on mène l'indéfinie ZZ' parallèle à l'axe des y, puis puis MQ parallèle à l'axe des x, on aura_FM=T'P= MQ. D'où il résulte que chaque point de la courbe est à une même distance du foyer et de l'indéfinie ZZ', qu'on nomme la DIRECTRICE.

Cette propriété peut être exprimée d'une manière plus générale, et qui convienne à toutes les sections coniques. Menons par le point T', pour chacune des courbes, la Directrice ZZ', et la ligne MQ qui lui soit perpendiculaire; comme on a toujours FM = NP, et MQ=T'P, on aura aussi :

C'est-à-dire que les distances de chaque point de la courbe au premier foyer et à la directrice sont dans un rapport constant et égal à h. Et comme dans la parabole h = 1, on a FM

MQ; tandis que dans l'el

lipse FM < MQ, et que dans l'hyperbole FM > MQ.

Dans le cercle, la ligne T'LG' étant parallèle à l'axe des x (n°. 211), la directrice est infiniment éloignée, et l'on a :

comme cela doit être, car dans ce cas m = 0, sin mo et h = o. - 1⁄2 ((7) no. 203), et que.

215, Puisque dans l'ellipse h=1 C

1 = c + CF (no, 213), on a, par le même numéro :

Puisque dans l'hyperbole h = 1 + ((7) no. 203), et que

1 = c + CF (n°. 213), on a, par le même numéro:

FM=+(

CFx
C

−c+CF), F'M=— (LE+c+CF);

C

ensorte que la grandeur de F'M, qui est indépendante de son signe général est +c+CF; retranchant celle de FM, on a;

CFx

F'M-FM = 2c.

Or comme on appelle rayons vecteurs les distances d'un point de l'une de ces courbes aux deux foyers, on voit que le premier axe est égal à la somme des rayons vecteurs dans l'ellipse, et à leur différence dans Thyperbole.

L'une ou l'autre de ces propositions peut s'appliquer à la parabole, parce qu'un de ses foyers étant infiniment éloigné, (n°. 203), un de ses rayons vecteurs est infiniment grand; ensorte qu'en y ajoutant ou en en retranchant l'autre rayon vecteur fini, on a une somme ou une différence qui est toujours infiniment grande et comparable à l'axe,

Enfin le cercle étant une ellipse dont les foyers sont réunis au centre (no. 211), il est clair que la somme de deux rayons vecteurs, dans cette courbe, est égale à l'axe ou au diamètre. Cette propriété revient à la propriété principale du cercle d'avoir tous ses points à une même distance dų

centre.

Si l'origine était au centre de l'ellipse et de l'hyperbole, il faudrait écrire dans les équations précédentes xc à la place de x (n°. 209. 213.), et l'on aurait, à part le signe général de F'M (qui est en-dans l'hyperbole ) :

le signe d'en haut étant pour l'ellipse et celui d'en bas pour l'hyperbole ; ce qui conduirait aux mêmes résultats.

y'2: (2c = x′) x′ :: p : 2c,

etc.

etc.,

on a aussi :

y2: (2c Fx) x::p:2c,

y2: y'a :: (2c x) x: (2c x′) x', etc.

Traduisons cela pour l'ellipse et l'hyperbole, et nous dirons que le carré de chaque ordonnée au premier axe est au rectangle des segmens correspondans (n°. 113), comme le paramètre est au premier axe; et que les carrés des ordonnées au premier axe sont entr'eux comme les rectangles des segmens correspondans.

Dans la parabole, ces proportions deviennent :

Cela résulte plus simplement encore de l'équation y2=px.

On peut donc dire que dans la parabole le carré de chaque ordonnée à l'axe est à l'abscisse correspondante, comme le paramètre est à l'unité; et que les carrés des ordonnées sont entr'eux comme les abscisses correspondantes. Dans le cercle le paramètre, ou la double ordonnée qui passe par le foyer, est égal au diamètre ou à l'axe; ainsi le carré de chaque ordonnée est au rectangle des segmens correspondans comme l'axe est à l'axe: c'està-dire

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