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à-dire que le carré de l'ordonnée est égal au rectangle des segmens correspondans, ou que la perpendiculaire abaissée sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segmens. On peut aussi dire que les carrés des ordonnées sont entr'eux comme les rectangles des segmens correspondans.

217. On a encore dans l'ellipse et l'hyperbole :

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p2: (2¢ Fx) x : : c'2 : c2,

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y' (2cx') x' :: c'1⁄2 : c2, etc.

y2; y'2 :: ( 2c F x ) x : ( 2c + x′) x′, etc.

C'est-à-dire que le carré de chaque ordonnée au premier axe est au rectangle des segmens correspondans, comme le carré de la moitié du second axe est au carré de la moitié du premier; et la seconde analogie du numéro précédent.

Les équations au centre donneraient les mêmes résultats, parce que . . C2 — x2 = (c + x) ( c − x), et que x2-c2 = ( x + c ) ( x − c ).

218. Si on voulait prendre, dans ces deux courbes, le second axe pour celui des x et le premier pour celui des y, il suffirait de changer dans les équations au centre x en y et y en x, et l'on aurait pour l'ellipse:

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Et si on voulait ensuite transporter l'origine à l'extrémité du second axe, on mettrait x → c'à la place de x dans ces équations; ce qui donnerait, pour l'ellipse et pour l'hyperbole :

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Ensorte que 1. le carré de chaque ordonnée au second axe de l'ellipse est au rectangle des segmens correspondans, comme le carré de la moitié du premier axe est au carré de la moitié du second; et les carrés des ordonnées au second axe sont entr'eux comme les rectangles des segmens correspondans.

2o. Le carré de chaque ordonnée au second axe de l'hyperbole est au rectangle des segmens correspondans augmenté de deux fois le carré de la moitié du second axe, comme le carré de la moitié du premier axe est au carré de la moitié du second; et les carrés des ordonnées au second axe sont entr'eux comme les rectangles des segmens correspondans augmentés chacun de deux fois le carré de la moitié du second

axe.

On voit que ces propriétés sont les mêmes pour les deux axes de l'ellipse, mais qu'elles ne sont pas les mêmes pour les deux axes de l'hyperbole (n. 217).

219. Les équations au second axe, que nous venons de trouver, outre celles au premier axe, que nous connaissions déjà, nous permettront une comparaison assez remarquable entre l'ellipse et le cercle, de même qu'entre l'hyperbole ordinaire et l'hyperbole équilatère.

1o. L'équation de l'ellipse au centre et aux axes, en prenant le grand axe pour celui des x, est;

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et celle d'un cercle décrit sur ce grand axe pour diamètre, en appelant l'ordonnée Y, est

Y2 = c2 - x2.

Les ordonnées de ces deux courbes répondant aux mêmes abscisses, ront donc entr'elles ce rapport :

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et chaque ordonnée de l'ellipse sera par conséquent plus petite que l'or donnée correspondante du cercle, dans le rapport du petit axe au grand,

En faisant la comparaison de la même ellipse avec un cercle décrit sur son petit axe pour diamètre, et cela au moyen de l'équation du numéro précédent, on trouvera y: Y:: c; c'; c'est-à-dire que chaque ordonnée

au petit axe de l'ellipse sera plus grande que l'ordonnée correspondante du cercle, dans le rapport du grand axe au petit.

L'ellipse sera donc intérieure au premier cercle et extérieure au second. D'où il résulte que le premier axe de cette courbe est le plus grand de ses diamètres, et que le second axe en est le plus petit.

2o. En comparant de même une hyperbole ordinaire avec deux hyperboles équilatères, l'une ayant ses axes égaux au premier axe de l'hyperbole ordinaire, et l'autre au second, on trouverait aussi, pour l'un et l'autre de

ces cas:

y: Y:: c':c, y: Y::c: c'.

Mais ici c' n'est pas décidément plus petit que c; il peut aussi être plus grand (no. 206 ).

CHAPITRE XIL

Propriétés des sécantes, des tangentes, des normales, et des cordes supplémentaires.

220. MAINTENAN LAINTENANT pour parler des sécantes et des tangentes, et pour généraliser l'idée de ces lignes, nous dirons qu'une sécante est une ligne. droite qui coupe une courbe en deux ou plusieurs parties; et qu'une tangente est une droite que l'on peut considérer comme ayant été sécante d'une courbe, et qui a changé de position de telle sorte que deux points d'intersection se sont réunis en un seul, par le mouvement supposé de cette droite.

Il est clair d'ailleurs que par la nature d'une courbe, une même droite peut la toucher dans un ou plusieurs points, et la couper dans d'autres.

221. Cela posé, concevons qu'une droite passe par un point (a, ®), pris dans le plan d'une section conique, et qu'elle rencontre la courbe, puis cherchons à déterminer les coordonnées. x, y, des points communs. Prenons d'abord, pour la courbe, l'équation (9) du n°. 203, et faisons,, P pour abréger, I t, nous aurons: 2c

y=px + tx*;

combinant alors cette équation avec celle de la droite, c'est-à-dire avec celle-ci :

y — ß = a ( x - x
a);

et raisonnant comme on l'a fait pour le cercle au no. 171, nous obtien drons:

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(a2 — t'); x2 — [2a (ax — B) +p] x + (ao — ß) 2 = 0 (2).. Sur quoi l'on observera que les abscisses sont ici comptées depuis le som met, tandis qu'au n°. 171, où il s'agissait du cercle, nous les avons comp tées depuis le centre. C'est qu'alors nous cherchions à simplifier, et qu'ac

tuellement nous voulons des formules applicables aux trois courbes; or la parabole n'a point de centre, ou son centre est infiniment éloigné. Concluons des équations (1) et (2) qu'une droite rencontre en général une section conique en deux points (voyez le n°. 171); reste à rechercher s'il serait possible qu'elle n'eût quelquefois qu'un seul point de commun avec la courbe.

222. Examinons d'abord si l'équation (2) peut être abaissée au premier degré, c'est-à-dire si l'on peut avoir a2-to, ou ce qui revient au mème :

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Or cela n'est possible, ni pour l'ellipse, ni pour le cercle, parce que a, avec le signe sous le radical, comme il le faut ici, serait imaginaire. Ainsi la sécante de ces courbes les rencontre toujours en deux points (n°. 220).

p 2c

Quant à la parabole, comme elle donne ➡o, à cause de 2c, on

a, dans notre hypothèse actuelle, a =√√/0 = 0; d'où il résulte que la sécante parallèle à l'axe des z ne rencontre la courbe qu'en un seul point; ce qui est d'accord avec tout ce que nous savons de la parabole.

Enfin prenant pour l'hyperbole le signe + sous le radical, comme cela

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@= Ainsi quand la droite qui passe par le point (, ) fait avec l'axe

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C

C'

des x un angle qui donne a,

elle est sécante et cependant elle ne rencontre la courbe qu'en un seul point.

223. Voyons encore si l'équation (2), en restant, du second degré, ne pourrait pas avoir pour x deux valeurs égales; ce qui réunirait les deux points d'intersection de la sécante pour en faire une tangente (n°. 220) Cela aurait lieu si, après avoir écrit ainsi l'équation:

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