Dans le cercle où ccr, on a au' = 1, et les cordes sont perpendiculaires l'une à l'autre (n°. 150. 151. 182 ).

Dans l'hyperbole équilatère, où cc' (n°. 211), on a aa' =+ 1; d'où il est facile de conclure que les deux angles aigus correspondans, formés par les cordes supplémentaires et le premier axe, valent ensemble un angle droit (*).

Si on voulait chercher le rapport des angles correspondans que font avec le petit axe c' de l'ellipse, les cordes qui partent de ses extrémités, on trouverait aa'=- rapport qui est l'inverse du précédent, et que l'on

c2

-

peut obtenir, comme cela doit être, par l'échange simple des axes.

245. Du reste l'angle que forment entr'elles les cordes supplémentaires partant des extrémités du grand axe de l'ellipse est obtus, et celui que forment les cordes partant des extrémités du petit axe est aigu; ce qui est évídent par le n°. 219. Dans l'hyperbole l'angle des cordes menées des extré mités du premier axe est toujours aigu.

Nous allons rechercher une formule propre à représenter l'angle des cor des du grand axe. Mais nous ne nous occuperons point de la parabole, parce que dans cette courbe l'angle des cordes est le supplément de celui que la petite corde fait avec l'axe; or celui-ci est toujours aigu et va en diminuant sans cesse depuis le sommet où on peut le considérer comme droit; donc l'autre est obtus et va toujours en augmentant.

Faisons d'abord le calcul pour l'ellipse, en mettant l'origine au centre. L'équation de BM, fig. 77, 78, passant par le point B (+c, o) est. y=a ( x − c ); et comme elle passe aussi par le point M («, ß) on a A = α (α — c); d'où il résulte :

B

L'équation de AM, passant par le point A (e,o), est y = a" (x + c ) ; et comme elle passe aussi par le point M (a, 6), on as

d'où l'on tire:

a' ( a + c );

(*) On a ici a tang in, d = tang m'; donc tang m. tang m' 1. Mais, par la trigonométrie, tang m. cotang m=1; donc, dans ce cas, tang i'cotang m; et par conséquent m' est le complément de m.

du n°. 109, on trouvera, après les réductions, et après avoir mis :

c'2

....

· ( c2 — «2 ) à la place de e2, et g2 à la place de c2 c'2, on trouvera,

dis-je :

tang AMB=

2c3. B
g2 (c2x2)'

Mettant encore

c22 à la place des, divisant haut et bas par . i

Si on veut tirer de là la formule propre à l'hyperbole, on mettra c'√√ à la place de c' (n°. 209. 242, note), et l'on multipliera haut et bas par V-1; ce qui donnera :

Nous allons interprêter ces valeurs, en commençant par l'ellipse, et ne considérant que le premier quart de la courbe.

1o. Comme « n'est jamais plus grand que c, l'angle est toujours possible, et à cause du signe de sa tangente, il est toujours obtus; excepté lorsque a = c; car alors on a tang AMB=1, ce qui prouve que l'angle est droit.

2o. Depuis B, où l'angle est donc droit, à mesure que a diminue.

a2 augmente, et la tangente trigonométrique de AMB diminue. Mais quand la tangente en → d'un angle obtus diminue, cet angle devient plus grand. Donc, en effet, l'angle des cordes augmente depuis B jusqu'en D. Alors il est clair qu'il recommence à diminuer sur le second quart de la courbe.

:

2cc

et

3o. Le plus grand angle se trouve donc à l'extrémité du petit axe, quando. On a alors tang AMB ou tang ADB=— Dans cette g9 position les cordes sont égales, et les angles DAC, DBC le sont aussi; dono les angles DAC et DBX, sont supplémens l'un de l'autre ; ensorte que leurs tangentes trigonométriques sont égales et de signe contraire. Or te produit de ces tangentes a et a' est toujours — (n°. 244); donc ici l'une vaut ..

Voyons maintenant la formule relative à l'hyperbole, et ne considérons toujours que le premier quart de la courbe. Cette formule est celle-ci :

α

1o. Comme « n'est jamais plus petit que, c, l'angle est toujours possible, et à cause du signe de sa tangente il est toujours aigu; excepté lorsque = c, car alors la tangente devient infinie et l'angle est droit.

2o. Depuis le sommet A, où l'angle est donc droit, à mesure que a aug mente ac2 augmente aussi et la tangente de AMB diminue. Mais quand la tangente d'un angle aigu diminue, cet angle lui-même diminue, Donc, en effet, l'angle des cordes diminue depuis le sommet A à l'infini; et il ne peut être supposé nul, qu'en faisant «=. Dans cette position les, cordes sont parallèles, et les angles correspondans qu'elles font avec l'axe sont égaux ; ainsi leurs tangentes sont égales et de même signe. Or le pro duit de ces tangentes a et a' est + (n°. 244); donc chacune d'elles vaut (toujours pour le premier quart) + c^; c'est-à-dire que ces cordes sont pa rallèles à l'asymptote (n°. 240).

CHAPITRE XIII.

Des sections coniques rapportées à leurs diamètres, et des diamètres conjugués.

246. Jusqu'à présent toutes les équations des sections coniques que nous

avons vues, se rapportaient à ces diamètres particuliers que nous avons nommés spécialement les axes (n°. 206); et il est évident qu'on pourrait rapporter ces courbes à des axes quelconques, avec une origine placée aussi d'une manière quelconque; on aurait ainsi leur équation la plus générale (no. 212). Mais ce n'est pas ce dont il s'agit ici: nous allons actuellement rechercher si on ne pourrait point changer les axes des coordonnées et l'origine, sans changer la forme des équations que nous avons eues jusqu'à présent.

Pour cela nous prendrons les formules du n°. 165, et pour faciliter le calcul, nous désignerons par m et par m' les angles (xx') et (xy') formés par les nouveaux axes des x' et y' avec l'ancien axe des x. Alors les for mules en question s'écriront ainsi :

x = x' cos m
y=x' sin m + y' sin m' + g;

+ y' cos m' +f;

et en substituant ces valeurs dans l'équation géuérale :

2c p

+ y' (sin2 m' + — cos' m' ) + x. 2 (g sin m―ip cosm+_ ƒ cosm)

p

2c

+ y'. 2 {g sin m'— ip cos m' +ƒ cos m') + (9' —pf± 1 /=ƒ3)

2c

(g2

2c

(*) Il est évident que cette équation est l'équation la plus générale possible

247.

247. Appliquons d'abord cela à la parabole. Pour que l'équation précédente soit de la forme y2-pxo, il faudra que les coéfficiens des termes en a', x'y', et y', soient nuls, ainsi que le terme entièrement constant. o par lui-même, les équations de condi

Or comme dans la parabole tion seront celles-ci :

p

2c

sin2 m = 0, g sin m' p cos m'o, g2-pfo... (B). J'ai laissé de côté le coefficient de x'y', qui ne nous apprendrait rien, puisque nous avons déjà sin mo et par conséquent aussi sin m=0. La première de ces trois équations nous dit que l'angle m est nul, et la troisième, n'étant autre chose que celle de la parabole, nous fait voir que la nouvelle origine, dont les coordonnées sont fet g, est un point de la courbe. Ainsi pour que l'équation conserve sa forme, le nouvel axe des r doit être parallèle à l'ancien. Ce nouvel axe est donc un diamètre et l'origine est à son extrémité.

x

La seconde équation de condition peut être mise sous cette forme:

Mais m' est l'angle que le nouvel axe des y fait avec l'ancien axe des x;

sin m'
cos m'

ensorte que ou a' marque l'inclinaison de cet axe, et la formule fait voir qu'il est tangent à la courbe à la nouvelle origine dont l'ordonnée est g (n°. 225, form. (7)). Et comme la tangente à la parabole n'est perpendiculaire à son axe qu'au sommet de la courbe (n°. 237), ce n'est que dans ce point non plus qu'elle est perpendiculaire aux diamètres, parce qu'ils sont tous parallèles à l'axe, Donc les nouvelles ordonnées sont obliques au nouvel axe des a.

Au moyen de ces conditions, l'équation de la courbe conservant son ancienne forme, à chaque nouvelle abscisse répondent donc deux ordonnées égales et de signe contraire. Ensorte que si d'un point de la parabole on mène un diamètre, puis une tangente à ce point, toutes les cordes paral-,

des sections coniques. Elle est de la forme Ax2 + Bxÿ + Cy3 + Dx + Ey+F=。 (voyez celle du cercle n°. 166).

Bb