'Or puisqu'on a x'y', on a aussi :

x'y' sin 2m = w2 sin 2m.

'C'est-à-dire que le parallelogramme de deux coordonnées correspondantes quelconques est équivalent au losange des coordonnees du sommet.

Ce losange pourrait aussi être nommé puissance de l'hyperbole; on a même désigné ainsi le grand losange quadruple de celui-là, qui a les deux axes de la courbe pour diagonales, et dont l'aire vaut g2 sin 2m. Du reste lorsque l'hyperbole est équilatère, comme c'c, on a:

ensorte que l'angle des asymptotes est droit, et le dernier théorème n'est autre chose alors que le précédent.

263. Si l'on a une sécante passant par un point (, ), son équation sera de la forme :

y' → B = a (xʻ *);

et si l'on veut chercher la valeur des coordonnées des points d'intersection, on la combinera avec l'équation:

·x'y' =

'on trouvera par l'élimination, en observant que2 = 3 (lorsque le point (x, B) est sur la courbe, comme nous allons le supposer, pour plus de simplicité), on trouvera, dis-je :

Si l'on fait alors ào, ou si l'on imagine que la sécante soit parallèlè à l'axe des x' ou à la première asymptote, il n'y aura qu'un point d'intersection, parce que l'équation en x' ne sera plus que du premier degré (no. 222). Il en sera de même si la sécante est parallèle à l'axe des y' ou à l'autre asymptote, parce qu'on ne change point l'équation de la courbe en mettant y' pour x' et x pour y'. x'

Pour tirer de cette équation la valeur de a qui convient à la tangente, nous l'écrirons ainsi :

et nous supposerons que l'on a, en mettant A à la place de a (no. 172):

264. Si dans cette équation on fait y' = o, il est clair que x' vaudra CT, fig. 82; on aura donc la soustangente TP = CT - CP = x′ — α = «. C'est-à-dire que généralement la soustangente est égale à l'abscisse du point de contact.

265. De plus, les triangles semblables MTP, CTt, à cause de CP=TP, donnent Mt = MT; c'est-à-dire que la portion de la tangente indéfinie comprise entre les deux asymptotes est coupée au point de contact en deux parties égales.

Cette propriété peut être généralisée, et elle s'étend à toutes les sécantes qui rencontrent une des courbes en deux points.

Reprenons l'équation de la sécante RS, fig. 81,

y' — B = a (x' - α),

et faisons-y y =o, nous en tirerons x' ou

que cette valeur n'est autre chose que la somme des deux valeurs de x, ou la somme des abscisses des points d'intersection; d'où résulte :

CS = CQ+ CH=CQ+VL;

donc VL QS; donc les deux triangles QSN, VLR, sont égaux, et par conséquent NS LR. Ainsi les deux parties d'une sécante comprises entre la courbe et les asymptotes sont égales..

266. Laissons la normale, et faisons encore un rapprochement assez curieux de ce que nous venons de voir avec ce que nous avons déjà vu au n°. 256.

Menons au point de contact (∞, 6) fig. 82, le diamètre CM ou d, les triangles MCP, MTP, donneront, en observant que TP CP = «, en nommant t la tangente MT, et faisant R= 1 (n°s. 100. 137. 146. 148. 166.): d2 = x2 + ß2 + 2 aß cos 2m, t2 = α2 +63 2 aß cos 2m,

Substituant ces valeurs dans le second membre de (P), on obtient:

donc t d'. C'est-à-dire qu'un demi-diamètre conjugué quelconque est toujours égal à la tangente menée à l'extrémité du diamètre principal. Cela s'accorde avec le n°. 256.

CHAPITRE XV.

Problèmes géométriques relatifs aux sections coniques.

§. 1.

DÉCRIRE CES COURBES AU MOYEN DE CERTAINES DONNÉES.

Procédé général.

267.

C'EST

'EST celui du n°. 200, qui convient aux trois sections coniques, ęt même au cercle et à la ligne droite (n°. 211).

Nous avons vu que pour déterminer une de ces courbes, il fallait au moins deux constantes, sauf pour la parabole, où l'on a toujours h 1 (n°.202). Si l'on n'avait aucunes données, on les fixerait à volonté ; ainsi ce cas rentre dans le précédent. Voyons donc, avant toutes choses, comment au moyen de certaines données, on en peut déterminer d'autres, sans cependant avoir la courbe, ou lorsqu'elle n'est pas encore décrite.

Si on donnait la distance du sommet au foyer d'une parabole, c'est-àdirel, fig. 69, il serait bien facile de décrire la courbe, et l'on aurait aussi, le paramètre, puisque p 41. Si on connaissait seulement p, on en prendrait le quart et l'on aurait

=

Si on donnait pour une ellipse 7 et p, fig. 70, ou AF et FG', on ferait AL AF et la construction serait facile. Si on donnait les deux axes, on porterait AC en DF pour déterminer le foyer (n°. 208); on ferait ensuite AL AF et CE — FD — AC, oụ BI = FB, et par les points L et E, ou L et 1, on mènerait T'LI, etc. Si on avait 2c et 7, ou AB et AF, on ferait AL AF et BI FB, etc.; ou, après avoir mené par le milieu C de AB la perpendiculaire CE, on porterait AC en FD, pour avoir le demi-petit, axe, etc. Si on connaissait le grand axe et le paramètre, on prendrait une moyenne entre ces deux lignes pour avoir le petit axe, etc. Si on donnait le petit axe et le paramètre, on chercherait une troisième. proportionnelle au paramètre et au petit axe, pour avoir le grand axe, etc.

Enfin si on donnait le petit axe et la distance du sommet au foyer, on chercherait une troisième proportionnelle à l et à c', et ce serait 2c - Z ou FB (n°. 208); en y ajoutant ou AF on aurait AB, etc. On opérerait d'une manière analogue pour l'hyperbole, fig. 71. Par exemple, si on avait les deux axes, on porterait la distance AD en CF pour déterminer le foyer (n°. 208), faisant ensuite AL AF et B1 = BF, on mènerait ILG' etc. Si on donnait AB et AF, on ferait encore AL AF et BI= BF, etc. Mais si on voulait trouver le petit axe, on porterait FC en AD pour déterminer CD (n°. 208). Etc. etc.

=

Procédés communs à plusieurs courbes, ou analogues entr'eux.

268. ELLIPSE. Données, le premier axe et les foyers.

Dans l'ellipse, le premier axe est égal à la somme des rayons vecteurs (n”. 215).

Ainsi, depuis l'un des foyers comme centre, et avec un rayon à volonté, mais plus petit que l'axe, on décrira un cercle entier; depuis l'autre foyer ct avec un rayon égal au reste de l'axe, on décrira un autre cercle entier ; les deux points où ces cercles se couperont, au-dessus et au-dessous de l'axe, appartiendront à la courbe, puisqu'ils satisferont à la loi énoncée. En répétant l'opération avec d'autres rayons, on obtiendra de nouveaux points.

HYPERBOLE, Les ménies données que pour l'ellipse.

Dans cette courbe le premier axe est égal à la différence des rayons vecteurs (n°. 215).

Ainsi, depuis l'un des foyers comme centre, et avec un rayon à volonté, mais que nous supposerons d'abord plus grand que le premier axe, on décrira un cercle entier; depuis l'autre foyer, et avec un rayon égal à ce que le premier a de plus que l'axe, on décrira un autre cercle entier; les deux points où ces cercles se couperont, au-dessus et au-dessous de l'axe, appartiendront évidemment à la courbe. En répétant l'opération avec d'autres rayons, on obtiendra de nouveaux points,

Du reste, si le premier rayon était plus petit que l'axe, il faudrait y ajouter l'axe pour avoir l'autre rayon,

N. B. Ces procédés ont l'inconvénient de ne pas fournir immédiatement les ordonnées qui correspondent à des abscisses déterminées; mais le pro-.