l'angle donné; depuis le point où cet arc rencontrera la courbe, on mènera des cordes supplémentaires aux extrémités du diamètre en question; puis par le centre on mènera des parallèles à ces cordes; ces parallèles seront les diamètres demandés, sur quoi l'on fera des observations analogues à celles du n°. 277.

On opérera de même pour trouver les axes, si l'angle donné est droit; mais dans ce cas le centre du cercle décrit ne sera autre chose que celui même de la courbe, ce qui rendra la solution plus simple.

280. POUR L'HYPERBOLE. Etant donné le centre et non les axes, trouver les asymptotes.

On commencera par chercher les axes, par le n°. précédent, et l'on déterminera ensuite les asymptotes par le procédé indiqué au no. 276.

§. 3.

AYANT LES COURBES, LEUR MENER DES TANGENTES.

Procédé général; les foyers étant connus.

281. 1. Le point donné est sur la courbe.

Supposons pour un moment le problème résolu, et représentons-nous qu'on ait déjà mené par le point donné M, fig. 89, 90, 91, la tangente MT, la normale MN, et les rayons vecteurs FM, F'M, on aura pour l'ellipse, fig. 90, FMN F'MN; pour l'hyperbole, fig. 91, FMT=F'MT; et pour la parabole, fig. 89, l'une ou l'autre de ces égalités, suivant qu'on la considérera comme une ellipse ou une hyperbole, et qu'on prendra le point F' vers la concavité de la courbe ou vers sa convexité (no. 242). De là résulte ce procédé.

Joignez le point M avec les deux foyers, et partagez l'angle des rayons vecteurs en deux parties égales, par une droite à laquelle vous mènerez une perpendiculaire au point M; une de ces droites sera la normale, et l'autre sera la tangente demandée (no. 242 ).

2o. Le point donné G est extérieur; et il s'agit de trouver le point de contact M.

Supposons que le problème soit résolu, et que l'on ait déjà la tangentę et la normale; il est évident que si par le foyer F on mène une parallèle à

la normale, et qu'on la termine en E à la rencontre du rayon vecteur de l'autre foyer ou du prolongement de ce rayon, la tangente sera perpendiculaire sur le milieu de cette ligne FE, et l'on aura ME = MF et GE= GF. Ainsi le problème se réduit à trouver le point E; puisque le point M est sur la droite F'E ou sur son prolongement.

Or le point E est à une distance de F'égale à la somme ou à la différence des rayons vecteurs, c'est-à-dire au premier axe, parce que

ME MF. Ce point E est de plus à une distance du point donné G égale à GF, parce que GE GF, d'où résulte cette construction:

Du foyer F', pris pour centre, et d'un rayon égal au premier axe, décrivez un cercle entier; du point G, pris pour centre, et d'un rayon égal à GF, décrivez un autre cercle entier; menez enfin une droite par un des points d'intersection de ces cercles et par le foyer F'; elle déterminera sur la courbe le point M cherché.

Pour appliquer cette construction à la parabole, il faut observer: 1°. Qu'un cercle décrit avec un rayon infiniment grand, n'est autre chose qu'une ligne droite. 2°. Que puisque le centre de ce cercle est supposé être sur l'axe la ligne droite en question doit être perpendiculaire à cet axe. 3°. Que dans l'ellipse et l'hyperbole le sommet de la courbe se trouve à égales distances; entre le foyer F et le cercle décrit depuis le foyer F'; et que par conséquent dans la parabole le sommet doit être aussi placé à égales distances entre le foyer F et la perpendiculaire à l'axe dont nous venons de parler. 4°. Que cette perpendiculaire se confond donc avec la directrice. De tout cela il résulte qu'on peut modifier ainsi, pour cette courbe, la construction précédente:

Menez la directrice, et du point G pris pour centre, et avec GF pourrayon, décrivez un cercle; enfin par un des points E où ce cercle coupera la directrice, faites passer une parallèle à l'axe; elle déterminera sur la courbe le point de contact M.

N. B. Comme on peut toujours mener par un point extérieur deux tangentes à une section conique (no. 223), il est évident que les cercles décrits des points F' et G auront deux points d'intersection; ce que l'on pour-、 rait du reste faire voir par des considérations géométriques. Tout comme on pourrait prouver aussi, par les mêmes moyens, que la droite GT n'a qu'un point de commun avec la courbe.

Pour l'ellipse et l'hyperbole ; le centre étant connu.

282. Le point donné est sur la courbe.

Le procédé suivant repose sur ces considérations: 1°. Que si on prend pour axe des x un diamètre, et pour origine une des extrémités de ce diamètre, l'axe des y ne sera autre chose que la tangente à ce point; que d'ailleurs en menant d'une des extrémités du premier axe de la courbe une corde parallèle à l'un des nouveaux axes, la corde supplémentaire sera aussi parallèle à l'autre de ces axes (n°. 250), 2°. Que les propriétés des tangentes et des cordes supplémentaires, rapportées aux diamètres conjugués, sont les mêmes que lorsqu'on rapporte ces lignes aux deux axes de la courbe (no. 257).

Pour trouver donc la tangente au point M donné, fig. 92, on mènera par le centre un diamètre aboutissant à la courbe, mais non au point M; on en mènera ensuite un autre au point M, s'il n'est pas déjà mené; puis. d'une des extrémités du premier, on tracera une corde parallèle au second; et joignant l'autre corde, on lui mènera enfin une parallèle par le point M; cette parallèle sera la tangente demandée.

Pour la Parabole seule; l'axe étant connu..

283. Le point donné est sur la courbe.

Il est évident, par le n°. 229, qu'il suffit d'abaisser l'ordonnée du point M, fig. 72, et de prendre la soustangente égale au double de l'abscisse: par le point 7 ainsi déterminé, et par le point donné M, on mènera une droite, qui sera la tangente demandée.

Pour l'Ellipse seule; l'axe étant connu.

284. Le point donné est sur la courbe.

Le procédé suivant est fondé sur les observations du n°. 24t, qu'il faut revoir.

Depuis le centre de la courbe, fig. 93, avec un rayon égal au demigrand axe, décrivez un cercle; menez ensuite l'ordonnée du point M, en la prolongeant jusqu'à la rencontre du cercle en M'; construisez la tangente M'T au cercle; alors la droite MT sera la tangente de l'ellipse.

222

PROBLÈMES GÉOMÉTRIQUES RELATIFS AUX SECT. CONIQ.

N. B. Le même procédé ne peut pas s'appliquer aux autres courbes, parce qu'il faudrait, au lieu de cercle, décrire des courbes du genre des paraboles ou des hyperboles proposées, et leur mener des tangentes; ce qui ne simplifierait point la question.

Pour l'Hyperbole seule; le centre étant connu.

285. Le point donné est toujours sur la courbe.

Le procédé suivant est fondé sur ce qu'en rapportant l'hyperbole à ses asymptotes, la soustangente est égale au double de l'abscisse (no. 264). Commencez, fig. 82, par déterminer les asymptotes, si vous ne les avez pas déjà (no. 280); menez ensuite l'ordonnée MP du point M; prenez la soustangente TP égale à l'abscisse correspondante CP; et par le point 7, ainsi déterminé, menez la droite MT; ce sera la tangente demandée.

286. Voilà sans doute les principaux problèmes relatifs aux sections coniques; on en pourrait proposer une infinité d'autres, soit géométriques, soit algébriques; nous nous bornerons à ce que nous venons de voir. Nous allons maintenant, dans une Appendice, prouver que ces courbes peuvent naître des sections planes que l'on fait dans le cône, ou de la discussion de l'équation générale à deux indéterminées du second degré,

Des sections coniques considérées dans le cóne et dans le cylindre..

287. Sorr ADBE, fig. 94, un cercle, et S un point pris hors du plan

de ce cercle; si la droite indéfinie SA tourne sur le point fixe S, en glissant tout autour de la circonférence ADBE, elle engendrera dans ce mouvement deux cônes droits ou obliques, opposés par le sommet S..

Si l'on coupe ces cônes par un plan, qui passe par le sommet S, et qui entre vraiment dans les deux cônes, il est évident que les figures des sections seront terminées chacune par trois droites, dont deux, comme SD et SE, seront tracées sur la surface convexe du solide, car elles représentent deux positions de la génératrice SA; et dont la troisième, comme DE, ne sera autre chose que l'intersection du plan coupant avec celui de la base.. Ces figures seront donc des triangles; et si ces triangles passent par l'axe SC, on les appellera triangles par l'axe..

Si on coupe un des cônes par un plan parallèle à la base, comme adbe,. pour savoir si la figure de la section n'est pas un cercle, nous chercherons le rapport des lignes qui la traversent. Pour cela nous mènerons l'axe du còne SC, et par cet axe deux plans qui s'entrecoupent sous un angle quelconque, comme SAB, SDE; leurs intersections avec ADBE, adbe, seront parallèles, comme Ab, ab, DE, de, (Géom. Liv. VI. Th. VIII); et les triangles semblables SAC, Sac, et SDC, Sdc, donneront: