313. Voici maintenant, pour terminer, les exemples dont nous avons parlé, et sur lesquels on fera bien de s'exercer.

SUPPLÉMENT.

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.

314. TOUT

Our grand cercle de la sphère la partage en deux parties égales, qui sont des hémisphères.

Deux grands cercles d'une même sphère se rencontrent toujours, et ils ont pour intersection commune un diamètre de ce solide. Ils partagent ainsi la surface en quatre parties, renfermées chacune entre deux demi-circonférences, et que l'on appelle des fuseaux.

Si trois grands cercles, ou quatre grands cercles, avaient la même intersection, ils diviseraient la surface en six fuseaux, ou en huit fuseaux; et ainsi de suite.

Mais si deux grands cercles, formant donc des fuseaux, sont rencontrés par un autre grand cercle, dont le plan ne passe pas par leur commune intersection, ces trois cercles divisent la surface en huit parties, dont chacune est terminée par trois arcs, et que l'on appelle triangles sphériques. Alors chacun des arcs, qui sont les côtés du triangle, est plus petit qu'une demicirconférence, et les angles qu'ils font entr'eux sont tous saillans, comme dans les triangles rectilignes.

Si des quatre triangles situés sur un même hémisphère on en retranche un, les trois autres réunis forment encore entr'eux une espèce de triangle; mais celui-ci a un angle rentrant, et le côté opposé est plus grand que la demi-circonférence.

Cela posé, on nomme trigonométrie sphérique la science qui enseigne à résoudre les triangles à angles saillans, formés par des arcs de grands cercles sur la surface d'une sphère (voy. Géom. Liv. X. Ch. III, Trig. n°. 71 ). Elle ne considère pas les triangles à angles rentrans parce que leur résolution dépend évidemment de la résolution des autres.

On pourrait former aussi sur la surface de la sphère des triangles qui auraient pour côtés des arcs de petits cercles; mais la trigonométrie ne les considére pas non plus, soit parce qu'ils sont trop variables, soit parce que les astronomes, qui sont surtout appelés à faire usage de cette science, sont toujours placés au centre de la sphère, et par conséquent au centre de tous les grands cercles.

315. Soit donc ABC, fig. 104, un triangle sphérique, du genre de ceux que nous devons apprendre à résoudre, les plans des arcs AB, AC, BC, savoir GAB, GAC, GBC, se rencontrant au centre G de la sphère, couperont dans ce solide une espèce de pyramide triangulaire GABC, à base sphérique : les côtés AB, AC, BC, du triangle sphérique seront les mesures des angles plans AGB, AGC, BGC, qui composent l'angle solidę G; et les angles A, B, C, que font entr'eux les côtés du triangle, seront égaux aux angles dièdres que font entr'eux les faces de la pyramide. Si l'on mène donc dans le plan AGB la droite AE perpendiculaire à GA, et dans le plan. AGC la droite AF perpendiculaire aussi à GA, l'angle plan FAE sera la mesure de l'angle A du triangle sphérique. Et l'on pourrait faire la même construction pour les angles B et C. D'ailleurs AE, AF sont tangentes aux arcs AB, ou c, et AC ou b.

316. Cela posé, si l'on examine quelles sont les données nécessaires pour déterminer un triangle sphérique, ou, ce qui revient au même, un angle solide trièdre comme G, on trouvera que sur les six parties que l'un ou l'autre renferme, il faut que trois au moins soient fixées, pour que le triangle, ou l'angle solide, ne puisse plus varier. Il en résulte que nous devons rechercher des formules où ces parties soient combinées quatre à quatre; ce qui nous donne à examiner les cas suivans:

1o. Un angle et les trois côtés.

2o. Deux angles et les deux côtés opposés.

3o. Deux angles et deux côtés dont l'un soit commun aux deux angles. 4. Les trois angles et un côté.

Formules pour le premier cas: un angle et les trois côtés.

317. Prolongeons les rayons GB, GC, jusqu'à la rencontre en E et F des tangentes AE et AF, et supposons le rayon des tables égal au rayon de la sphère, nous aurons:

Menant enfin EF ou h, les triangles rectilignes AEF, EGF, donneront:

h = tangib+ tang c― 2 tang b tang c cos A,

h2 = sec2 b + séc2-c 2 séc b séc c cos a.

Maintenant, si on retranche la première équation de la seconde, en obser vant que

faisant de plus, pour simplifier, R. 1, substituant, transposant, et divi-sant par 2, on aura:

séc b séc c cos a=1+ tang b tang c cos A..

Mais puisque chaquè tangente vaut le sinus sur le cosinus, et que chaque sécante vaut l'unité sur le cosinus, si on substitue ces valeurs, et qu'on multiplie par cos b cos c, on obtiendra.:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A;

c'est la relation cherchée entre un angle et les trois côtés. On en obtiendrait d'analogues pour les angles B et C; ainsi l'on a, sans un nouveau calcul:

cos a = cos b cos c + sin b sin.c cos A,
cos b= cos a cos c + sin a sin c cos B,
cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos C..

(K).

Formules pour le deuxième cas: deux anglés et les deux côtés opposés..

318. Dans les triangles rectilignes on a sin A: a sin Bb: sin G: c, voyons si quelque chose d'analogue aurait lieu pour les triangles sphéri

ques.

On sait que sin A = √1 — cos2 A, prenons dans (V) la valeur de cos ▲, élevons-la au carré, substituons, réduisons au même dénominateur les quantités qui sont sous le radical, développons le numérateur de la fraction qui en résultera, mettons-y 1-cos b à la place de sin b, et 1 cos c à la place de sin c, multiplions, réduisons, et extrayons la racine du dénomi nateur, nous aurons :.