CHAPITRE III.

Application des principes à des questions particulières.

53. UNE droite étant donnée, on demande de la diviser en moyenne et extrême raison; c'est-à-dire en deux parties telles que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et la plus petite partie (Géom. App. Probl. XVII).

Soit la droite donnée a, et sa plus grande partie inconnue x; la plus petite partie sera a- x, et l'on aura a:x::x:a x; d'où l'on tirera. x2а2-ax. Enfin résolvant cette équation on obtiendra:

x=— { a±√ a2 + ¦ a2.

54. Maintenant si la droite a est donnée en nombres, nous aurons la valeur ou les valeurs de x en mettant à la place de a le nombre que cette lettre représente, et en effectuant les opérations de calcul exigées par la formule. Or cette formule peut encore être écrite ainsi :

ce qui prouve que le calcul ne nous donnera jamais les valeurs de x que par approximation, si a est un nombre rationnel.

55. Mais si la ligne a est donnée sur le papier, et que l'on veuille construire les valeurs de x, on observera que va+a2 est l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui aurait pour ses autres côtés a eta, c'est-à-dire la droite donnée et la moitié de cette droite. Ainsi, dans la fig. 9, si AB est la droite donnée, en mettant BC, égale à AB, à angle droit avec AB, on aura AC a2+}a2.

=

Cela posé, comme pour avoir la première valeur de x il faut de va2+¦ a2 retranchera, il est clair qu'en décrivant avec CB ou a pour rayon, et du point C pour centre, une circonférence qui rencontre AC en D, on aura x= AD; valeur qu'on pourra porter en AF sur AB, d'où il résultera AB: AF:: AF: FB.

56. Quant à la seconde valeur de x, on peut l'écrire ainsi :

− ( {a + √a2 + 1 a2).

Abstraction faite du signe, il faut donc à Va+a2 ou à AC ajoutera,

ou CB, ou CD', ce qui donne AD', ligne formée en prolongeant AC jusqu'à la rencontre de la circonférence en D'. Mais que signifie le signe de cette ligne? Par le n°. 35 de l'Algèbre, il faut retourner à l'équation xa — a2 — ax, et l'écrire ainsi x2=a2+ax ou x2a (a+x), d'où l'on tire la proportion a:x::x:a+x; ce qui nous apprend que x, qui est ici AD', est. moyenne proportionnelle entre AB et AB+ AD'.

Nous avons donc, pour les deux valeurs de x, qui sont AD et AD', ces deux proportions:

AB: AD :: AD: AB—AD, AB: AD' :: AD': AB+ AD'.

Et par conséquent la première valeur ou AD répond à notre première ques tion, que l'on peut du reste énoncer de cette manière:

Trouver une ligne moyenne proportionnelle entre une autre ligne donnée et la différence des deux.

La seconde valeur de x ou AD' répond à cette autre question:

Trouver une ligne moyenne proportionnelle entre une autre ligne donnée et la somme des deux (*).

57. On peut observer ici que notre construction géométrique, considérée d'une manière abstraite et théorique, a donné exactement les valeurs de x; tandis que le calcul ne les aurait données que par approximation (n°. 54). Mais dans la pratique l'erreur qui résulterait nécessairement, soit de l'imperfection des instrumens, soit de l'inexactitude de l'opération, serait plus grande que celle du calcul; car celle-ci pourrait être atténuée à volonté en poussant l'approximation aussi loin qu'on le voudrait.

58. Deux droites a et b étant données, en trouver une troisième x, telle que la seconde soit moyenne proportionnelle entre cette troisième et la somme de celle-ci et de la première.

On a tout de suite x:b::b:x+a, ce qui conduit à l'équation . . x2+ax= b2; laquelle étant résolue donne:

X= · { a ± √ { a2 + b2.

Or il est évident que ces valeurs de r se construiront comme dans la question précédente, et qu'elles seront AD et AD', si, pour ne pas changer de figure, on suppose BC a et AB=b.

Mais pour savoir à quelle question répond la seconde valeur AD', qui est

(*) Francœur a considéré cette seconde valeur de x comme insignifiante, mais on voit qu'elle ne l'est pas.

affectée du signe nous retournerons à l'équation x2+ax — b2, et nou l'écrirons ainsi x2-ax = b2; ensorte que la proportion d'où provient l'équation deviendra x: b::b: x-a; ce qui fait voir que la seconde valeur de x ou AD' répond à cette question:

Deux droites a et b étant données, en trouver une troisième x, telle que la seconde soit moyenne proportionnelle entre cette troisième et la différence de celle-ci et de la première.

Les deux valeurs de x étant AD et AD', AB étant b et BC étant a, la première proportion peut s'écrire ainsi: AD:AB::AB: AD+2BC, ou, ce qui revient au même, AD: AB::AB: AD+DD', ou encore:

AD: AB:: AB: AD';

et la seconde peut s'écrire de cette manière: AD': AB::AB: AD' — DD' ou, en réduisant :

AD':AB::AB: AD.

C'est-à-dire que les deux valeurs de x forment dans les deux cas les deux extrêmes d'une seule et même proportion (Faites a=12, b=8.).

59. Partager une droite donnée a en deux parties entre lesquelles une autre droite donnée b soit moyenne proportionnelle.

Soit l'une des parties x, l'autre sera a-x, et l'on aura x:b::b:a-x; ce qui donnera l'équation: x2- ax —— b2, d'où l'on tirera:

x = {a± √ a2 — b2.

D'après le no. 48, pour construire la partie radicale de x, il faut ici, sur une ligne AC, fig. 10, égale à ¦ AB ou égale à a, et prise pour diamètre, décrire un cercle, porter ensuite en AE la ligne b, comme corde de ce cercle, puis joindre CE; cette dernière ligne sera a2 b2. Et comme on doit, pour avoir les deux valeurs de x, ajouter ce radical à a et l'en retrancher, on fera tourner CE sur le point C, comme sur un centre, afin que cette ligne se place d'abord en CD sur le prolongement de AC, et ensuite en D' sur AC même; il est clair que les deux valeurs de x, toutes deux en plus, puisque aba, seront AD et AD'. On aura √a2 donc :

AD: AE:: AE:DB, AD': AE:: AE: D'B. Mais DBCB — CD — CA — CD'— AD' ; et puisque le dernier terme de la première proportion égale le premier de la seconde, et que les moyens sont les mêmes, il faut bien que les deux autres extrêmes soient égaux. Ainsi l'on peut écrire :

ce qui ne fait, comme on voit, qu'une seule et même proportion; les deux parties de la ligne AB étant toujours AD et AD', et la lettre x ne devant pas plus représenter l'une que l'autre.

60. Du reste, voici, pour ce cas, une construction un peu différente, et ~ qui offre quelques avantages. Ayant pris une ligne GC, fig. 11, égale à b, puis ayant mené une droite indéfinie perpendiculaire à l'extrémité C de GC, si depuis le point G, pris pour centre, et avec un rayon égal à a, on décrit une circonférence, elle coupera en général la droite indéfinie en deux points D et D', et les triangles GCD, GCD', donneront CD ou CD', égale à √ a2 — b2; faisant alors CA-a, on aura:

AD=a+√ a2 — b2, AD'a√ { a2 — b2.

61. Il est clair que si a était égal à b, le radical s'annullerait, et la formule deviendrait xa; ce qui donnerait la proportion

aaaa. Dans ce cas, la droite AC de la fig. 11, au lieu d'être sécante du cercle décrit avec a ou b pour rayon, en deviendrait tangente au point C, et les points D et D' se confondraient avec le point €; d'où résulterait ADAD' AC=a.

Mais si l'on donnait la ligne 6 plus grande que la lignea, on aurait . b2 > a2, et les deux valeurs de x seraient imaginaires ou le problème serait impossible. Dans ce cas, le cercle de la fig. 11, décrit avec un rayon a plus petit que bou que CG, n'atteindrait pas la droite AC, et les lignes AD, AD',

n'auraient aucune existence.

62. Nous avons à faire ici une observation assez importante: si on demandait de construire l'équation générale du second degré x2+px+9=0, on pourrait d'abord l'écrire ainsi (no. 41 ): x2±pxql=0; puis, en procédant comme au no. 51, on la ramènerait à cette forme: x2+pxt=o. Cela posé il est évident que dans les nos. 58 et 59 nous avons examiné tous les cas de l'équation du second degré, sauf celui-ci :

x2 + px = — t2.

Mais en résolvant cette équation, on trouve:

x=1

or comme p2-t2 est plus petit que p, il en résulte qu'ici les deux valcurs de x sont en moins. Il faut donc, par le n°. 35 de l'Algèbre, écrire ainsi l'équation proposée :

alors ce sera le cas du n°. 59, et les deux valeurs de la question étant ainsi rectifiée, se trouveront toutes deux en plus.

63. Etant donnés de position une droite indéfinie XY, et deux points A et B hors de cette droite, de manière cependant que ces points et la droite soient dans un même plan, on demande de décrire un cercle qui passe par ces deux points, et qui soit tangent à la droite.

Puisque le cercle cherché doit passer par les deux points A et B, la droite AB, qui joint ces deux points, sera une corde, et si ces points sont à une même distance de l'indéfinie XY la corde AB sera parallèle à cette indéfinie, qui doit devenir tangente. Dans ce cas si l'on mène une perpendiculaire sur le milieu de AB elle passera par le centre, et elle ira marquer sur l'indéfinie le point de contact de cette ligne avec le cercle. Or dans tous les cas le problème se réduit à déterminer ce point de contact, puisqu'on sait faire passer une circonférence par trois points non en ligne droite.

Si les points A et B ne sont pas à une même distance de l'indéfinie, celle-ci sera rencontrée par le prolongement de la corde AB dans un point comme D, et il faudra déterminer la distance du point de contact M à ce point D. Supposons le problème résolu, nous aurons, par la propriété de la tangente et de la sécante,

AD:MD:: MD: BD ou AD:x::x: BD ; or AD et BD sont des quantités connues, parce que les points A et B sont donnés de position relativement à l'indéfinie, il faut donc les désigner comme telles par de petites lettres; mais pour avoir la construction la plus élégante, on a trouvé qu'en supposant le point C le milieu de AB, il fallait prendre CD+AC à la place de AD, et CD — CB ou CD - AG à la place de BD; faisant donc CD=a et AC=b, la proportion précédente devient a+b:x::x:a-b; ce qui donne x2 = a2 b2, et par conséquent,

x=±√a2 = b2.

On décrira donc sur CD ou a, prise pour diamètre, une circonférence CED, on fera tourner CA ou b en CE, et l'on joindra DE qui vaudra .. Va2 — b2 et représentera, par conséquent, la grandeur de x. Mais comme cette quantité doit être prise sur l'indéfinie, on fera encore tourner DE jusqu'en DM, pour avoir le point M qu'il fallait trouver.

Voilà donc DM qui est la première valeur de x, mais quelle est la seconde? On voit que sa grandeur est la même, et qu'elle ne diffère de l'autre que par le signe. Or si l'on reprend l'équation x2=a2 — b2, la

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