règle du no. 35 de l'Algèbre ne permet ici aucun changement; il n'y a donc point d'autre question résolue avec la proposée. Dans tous les cas de ce genre, on trouvera de deux choses l'une, ou la valeur en pourra être prise en sens contraire de celle en +, ou elle sera absolument insignifiante. Ici, par exemple, on verra que DE`peut se placer sur l'indéfinie ou dans un sens ou dans l'autre, à compter du point D; et donner ainsi un nouveau point N, par lequel et par les points A et B on peut faire passer un second cercle. Ainsi les deux valeurs de x sont DM et DN; elles sont égales, et les deux signes et- n'indiquent que des directions opposées (Voyez, après le Chap. IX de la seconde partie, la digression sur le sens du signe moins dans quelques formules).

64. Une figure quelconque étant donnée, en construire une semblable, et telle que l'aire de la première soit à l'aire de la seconde dans le rapport de la droite m à la droite n.

Puisque les surfaces des figures semblables sont entr'elles comme les carrés de leurs dimensions homologues, il suffira que ces carrés soient entr'eux comme mà n. D'ailleurs le problème se réduit à trouver une dimension x de la seconde figure, homologue à la dimension a de la première; ainsi l'on a m:n:: a2: x2, ce qui donne:

On prendra donc d'abord une ligne p moyenne proportionnelle entre m et n, pour avoir p√mn, et ensuite une ligne x quatrième proportionnelle à m à a et à p; ce sera la dimension cherchée de la figure demandée.

Quant à la seconde valeur de x, on voit bien qu'elle est insignifiante; que serait la dimension dont il s'agit prise en sens contraire? Il n'y a rien eu de déterminé sur la positition des figures qui ont fait le sujet de ce problème.

65. Plusieurs figures semblables étant données, en trouver une égale à leur somme ou à leur différence, et qui leur soit aussi semblable.

Le problème se réduit à trouver une dimension de cette figure homologue à telle ou telle dimension des autres. Soient donc A, A', A", etc., les aires des figures données, et X celle de la figure demandée; soient

aussi a, a', a", etc., et r, une dimension homologue dans les premières et dans la dernière on aura:

A: a2:: A': a':: A": a"2:: etc:: X: x*,

et, par conséquent,

A÷A'±A"± etc: a2 + a22+a" etc :: X : x2.

Or on veut que le troisième terme de cette proportion soit égal au premier, donc il faut que le quatrième soit égal au second; c'est-à-dire que x2= a2±a22+au+ etc.; d'où l'on tire:

Cette formule est facile à construire par le n°. 48; mais on voit que la seconde valeur de x est insignifiante, tout comme celle du numéro précédent.

APPENDICE

À LA PREMIÈRE PARTIE.

TRIGONOMETRIE RECTILIGNE.

Notions préliminaires.

66. TROIS points non en ligne droite, situés à la surface de la térre où

dans l'espace, peuvent toujours être considérés comme les sommets des trois angles d'un triangle, dont les côtés ne sont autre chose que les distances respectives de ces mêmes points. Or un triangle, sauf une ou deux exceptions, est déterminé par trois de ses parties, sur les six dont il est composé; c'est-à-dire que les trois angles et les trois côtés d'un triangle dépendent tellement les uns des autres qu'en général la grandeur de trois de ces choses étant fixée celle des autres ne peut plus varier (Géom. Liv. II. Th. IV et Schol. I. II. III.). Si l'on peut donc mesurer immédiatement trois parties d'un triangle, comme cela arrive souvent dans la pratique, on doit pouvoir en conclure la grandeur des autres parties, sans mesurer celles-ci; sauf, comme nous l'avons dit, un cas ou deux dans lesquels le triangle n'est pas déterminé.

Pour faire voir comment on peut mesurer tel ou tel angle, et tel ou tel côté d'un triangle, nous allons parler d'abord de la division de la circonférence en degrés, minutes et secondes, et donner la description de quelques instrumens les plus simples, qui servent à ces mesures.

67. " Jusqu'à ces derniers temps les géométres s'étaient accordés à diviser la circonférence en 360 parties égales appelées degres, le degré en 60 minutes, la minute en 60 secondes, etc. Ce mode présentait quelques facilités dans la pratique, à cause du grand nombre de diviseurs de 60 et de 360;

mais il était réellement sujet à l'inconvénient des nombres complexes, et il nuisait souvent à la rapidité du calcul.

"Les savans à qui on doit l'invention du nouveau système des poids et mesures ont pensé qu'il y aurait un grand avantage à introduire la division décimale dans la mesure des angles. En conséquence ils ont regardé comme unité principale le quart de circonférence ou le quadrant, mesure de l'angle droit, et ils ont divisé cette unité en 100 parties égales appelées degrés, le degré en 100 minutes, et la minute en 100 secondes.

« Nous n'emploîrons désormais que la nouvelle division ou la division décimale de la circonférence. C'est celle qui convient le mieux à la nature de notre arithmétique, et qui est la plus propre à abréger les calculs.,,

:

"Les degrés, minutes et secondes se désignent respectivement par les caractères °,', ", ainsi l'expression 16° 6' 75′′ représente un arc ou un angle de 16 degrés 6 minutes 75 secondes. Si on rapportait ce même arc au quadrant, pris pour unité, il s'exprimerait par 0.160675. On voit, en mème temps, que l'angle mesuré par cet arc est à l'angle droit comme 160675 est à 1000000, rapport qu'on ne déduirait pas aussi facilement des expressions données par l'ancienne division de la circonférence.

"

"Les arcs et les angles sont exprimés indistinctement, dans le calcul, par des nombres de degrés, minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l'angle droit ou le quadrant par 100°, deux angles droits ou la demi-circonférence par 200°, quatre angles droits ou la circonférence entière par 400°; ainsi de suite. » (Legendre).

Il faut observer à cet égard une chose assez importante, c'est que si un angle ne change point, les arcs décrits entre ses côtés et depuis son sommet pour centre, avec des rayons inégaux, seront toujours des portions semblables des circonférences entières; et contiendront par conséquent le même nombre de degrés, minutes, etc.: car on sait (Géom. Liv. V. Th. XXII. Sch. II.), que dans deux circonférences les arcs qui répondent à des angles au centre égaux sont entr'eux comme les circonférences. En nommant les circonfères c et c', et les arcs a et a', on a a: a'::c: c'; mais a est une portion de c et a' une portion de c', on peut donc écrire:

Il devient donc indifférent que le rayon soit plus grand ou plus petit; s'if

est plus grand les degrés seront plus grands, puisqu'ils sont entr'eux comme les circonférences, et par conséquent comme les rayons; mais leur nombre sera toujours le même. Ainsi pour comparer les angles nous pourrons comparer le nombre des degrés des arcs décrits entre leurs côtés avec des rayons quelconques égaux ou inégaux.

68. Pour mesurer les angles sur le terrain, on emploie des instrumens, qui sont toujours ou des cercles ou des portions de cercles divisés en degrés. Le graphomètre suffit dans bien des cas.

"C'est un demi-cercle de cuivre, fig. 13, divisé en 200°, et sur lequel on marque même les demi-degrés, selon la grandeur de son diamètre La demi-circonférence DHB, sur laquelle les divisions sont marquées, n'est pas une simple ligne; c'est une couronne demi-circulaire, à laquelle l'ouvrier donne plus ou moins de largeur; et cette couronne est ce qu'on appelle le limbe de l'instrument. Le diamètre DB fait corps avec l'instrument; mais le diamètre EC, qu'on nomme alidade, n'y est assujetti que par le centre A, autour duquel il peut tourner, et parcourir par son extrémité C toutes les divisions de l'instrument. Chacun de ces deux diamètres est garni à ses deux extrémités de pinnules (*), à travers lesquelles on regarde les objets. Quelquefois, au lieu de pinnules, chacun de ces deux diamètres porte une lunette. Celle qui répond au diamètre BD est parallèle à ce diamètre; l'autre, fixée à l'alidade EC, peut se mouvoir avec elle, et s'incliner un peu sur elle, afin de n'être pas obligé de déranger le plan de l'instrument pour apercevoir les objets qui seraient un peu élevés ou abaissés à l'égard de ce plan. L'instrument est porté sur un pied, et peut, sans rien changer à la position du pied, être incliné dans tous les sens, selon le besoin.

"

"Pour rendre le graphomètre propre à mesurer les angles avec plus de précision, à indiquer les parties de degré, on fait, le plus souvent, sur la largeur et à l'extrémité du diamètre mobile des divisions qui, selon la manière dont elles correspondent à celles du limbe, servent à connaître les parties de degré de 10 en 10 minutes, ou de 5 en 5 minutes, ou etc. „ "Pour mesurer un angle avec cet instrument, par exemple, pour mesurer

(*) Ce sont des lames métalliques placées à équerre sur les diamètres et fendues de haut en bas dans le milieu de leur largeur, comme on le voit dans la figure. On vise à l'objet à travers ces ouvertures, afin qu'il se trouve sur une droite qui soit le prolongement du diamètre.