l'angle que formeraient au point A les lignes qu'on imaginerait tirées de ce point aux deux objets G et F, on place le centre du graphomètre en A, et on dispose l'instrument de manière qu'en regardant à travers les pinnules. du diamètre fixe BD on aperçoive un de ces objets F, et qu'en même temps l'autre objet G se trouve dans le prolongement du plan de l'instrument; ce qu'on fait en inclinant plus ou moins le graphomètre: alors on fait mouvoir l'alidade EC jusqu'à-ce qu'on puisse apercevoir l'objet G à travers les pinnules E et C; l'arc BC, compris entre les deux diamètres, est la mesure de l'angle GAF.

"Lorsqu'on veut employer le graphomètre à mesurer des angles dans un plan vertical, c'est-à-dire des angles formés dans un plan qui passe par ce qu'on appelle une ligne à-plomb, on donne au plan de l'instrument la position verticale, à l'aide d'un poids suspendu par un fil, dont on attache une extrémité au centre du graphomètre: lorsque le fil rase le bord de l'instrument, le graphomètre a la disposition convenable. „ » (Bézout).

69. Pour mesurer une ligne droite sur le terrain, on se sert, dans les opérations ordinaires, de la chaine d'arpenteur; c'est une mesure composée de plusieurs pièces de gros fil de fer, qui ont chacune un décimètre ou un double décimètre de longueur, en y comprenant les anneaux qui les joignent ensemble. On peut lui donner en tout dix mètres ou un décamètre, et chaque mètre est distingué par un plus grand anneau. Ceux des deux extrémités de la chaîne sont assez grands pour qu'on puisse y passer la main. Deux hommes portent cette chaîne par les deux bouts, et l'appliquent bien tendue sur le terrain, toujours dans la même direction. Pour marquer chaque fois le point où l'extrémité de la chaîne tendue arrive, le premier porte- chaîne plante une fiche, c'est-à-dire une baguette de fer de trois à quatre décimètres de longueur, pointue par un bout, et ayant un anneau à l'autre bout. Le second porte-chaîne ramasse ces fiches à mesure qu'il les rencontre, et autant il en a ramassé autant la longueur qu'il s'agissait de mesurer contient de chaines. Les fractions s'estiment par les fractions de la chaîne.

Les extrémités de ces lignes droites qu'on veut évaluer, et quelquefois les points intermédiaires, se marquent par des jalons; ce sont des bâtons droits plus ou moins longs, garnis par un de leurs bouts d'un fer pointu, qui permet de les enfoncer dans la terre, et portant à l'autre bout un papier blanc qui les fait distinguer avec plus de facilité depuis une certaine distance. 70. Cela posé, soient A, B, C, fig. 15, trois points situés à la surface

de la terre, supposons que l'on ait mesuré l'angle 4, l'angle B, et le côté c, on en peut d'abord conclure l'angle C, puisque les trois angles d'un triangle valent deux droits; mais on doit pouvoir en conclure encore la grandeur des côtés a et b, puisque le triangle est déterminé par les données actuelles (*).

Or il est clair que lorsqu'on saura trouver les parties inconnues d'un triangle au moyen des parties connues, on pourra calculer les distances inaccessibles, et déterminer la position relative de tant de points visibles qu'on voudra, situés à la surface de la terre ou dans l'espace.

Cette grandeur de a et de b, avec les données actuelles, peut se trouver par la simple géométrie, en partant de la propriété des triangles équiangles entr'eux d'avoir leurs côtés homologues proportionnels. Mais il faut alors un nouvel instrument qui permette de faire sur le papier des angles égaux à ceux qu'on a mesurés sur le terrain. Cet instrument, fig. 14, qu'on appelle rapporteur, sert aussi à mesurer sur le papier les angles déjà faits.

"C'est un demi-cercle de cuivre ou de corne, divisé en 200°. Le centre de cet instrument est marqué par une petite échancrure C. Quand on veut mesurer un angle, tel que ECD, on applique le centre sur le sommet C' de l'angle qu'on veut mesurer, et le rayon CB du même instrument sur l'un des côtés CD de cet angle; alors le côté CE, prolongé s'il est nécessaire, fait connaître, par celle des divisions de l'instrument par laquelle il passe, de combien de degrés est l'arc du rapporteur compris entre les côtés de l'angle ECD, et par conséquent de combien de degrés est cet angle.,

"Pour faire, avec le même instrument, un angle d'un nombre déterminé de degrés, on applique le rayon CB de l'instrument sur la ligne qui doit servir de côté à l'angle qu'on veut former, et de manière que le centre C soit sur le point où cet angle doit avoir son sommet; puis cherchant, sur les divisions de l'instrument, le nombre de degrés en question, on marque sur le papier un point en cet endroit; par ce point, et par le sommet, on tire une ligne droite CE, qui fait alors, avec la première, l'angle demandé. » (Bézout).

Il faut de plus avoir une échelle, c'est, comme nous l'avons dit (n°. 7 note),

une

(*) Nous désignerons ordinairement les angles des triangles par de grandes lettres, et leurs côtés opposés par les petites lettres correspondantes (n°. 6).

une longueur arbitraire mais proportionnée au papier sur lequel on opère, et qui doit être divisée en parties égales.

On trace alors sur le papier une droite A'B', fig. 15, à laquelle on donne autant de parties de l'échelle, qu'il y a de mètres dans la base AB, et l'on fait avec le rapporteur en A' et B', des angles égaux aux angles mesurés A et B; en prolongeant les lignes A'C', B'C', jusqu'à-ce qu'elles se rencontrent en C. Les deux triangles ABC, A'B'C' sont équiangles entr'eux, et autant on trouve de parties de l'échelle dans A'C' et B'C' autant il y a de mètres dans AC et BC.

On pourrait aussi, sans graphomètre et sans rapporteur, faire sur le papier un triangle semblable au triangle ABC, et cela au moyen de la planchette, instrument très - simple et très-commode dans bien des cas; mais nous n'entrerons pas dans ce détail.

71. Une chose essentielle à remarquer, c'est que toutes ces méthodes graphiques sont très-sujettes à erreur; car plus on emploie d'instrumens plus on est exposé à se tromper. On a donc senti qu'il était nécessaire, pour obtenir un certain degré de précision, d'en revenir au calcul, et de n'employer que le plus petit nombre d'instrumens possibles.

Or trouver par le calcul la grandeur des parties inconnues d'un triangle, au moyen de celles qui sont connues, c'est ce qu'on appelle résoudre le triangle; et l'on nomme trigonométrie la science qui nous fait connaître les principes nécessaires à cette résolution. Lorsque les côtés des triangles sont des lignes droites, la trigonométrie est rectiligne ou plane; et quand les triangles ont pour côtés des arcs de grands cercles tracés sur une sphère, la trigonométrie est sphérique.

Cette science est sans doute une partie de la géométrie; elle semble même appartenir aux élémens; mais à cause de l'importance de son objet, du but spécial qu'elle se propose, et des développemens qu'elle exige, on en fait une branche à part. Il paraît que les principes de la trigonométrie rectiligne n'étaient pas ignorés des Egyptiens, et qu'ils étaient familiers aux Grecs; mais la naissance de la trigonométrie sphérique a été plus tardive. Ce sont les Arabes qui les ont perfectionnées l'une et l'autre. Nous allons nous occuper de la première.

72. Pour entrer en matière, observons que dans le cas où l'on connaît les trois angles d'un triangle, sans connaître aucun de ses côtés, le triangle n'est nullement déterminé (Géom. Liv. II. n°. 22). Il faut donc toujours,

F

1

pour pouvoir résoudre un triangle, qu'il y ait un côté parmi les trois choses connues. Ainsi nous aurons à examiner les cas suivans:

1o. Un côté connu, et deux angles connus de grandeur et de position; 2o. Deux côtés connus, et un angle connu de grandeur et de position; 3°. Trois côtés connus.

Premier cas de la résolution des triangles.

Définition et usages des sinus.

73. On connaît un côté du triangle et deux angles, on connaît donc aussi le troisième angle; ainsi on peut supposer que le côté connu est adjacent aux deux angles connus; comme si l'on avait, dans la figure 15, le côté c et les angles A et B. La question est donc de calculer les côtés a et b. Trois quantités connues en font trouver une quatrième, quand les quatre forment une proportion. On a donc cherché si les côtés d'un triangle étaient. entr'eux comme les angles opposés à ces côtés; ce que l'on aurait pu soupçonner d'abord, parce que dans un triangle un plus grand angle répond à un plus grand côté, et réciproquement; mais on a trouvé que cette proportion n'avait point lieu: ce qui est évident par cette seule observation particulière, que l'hypothénuse d'un triangle rectangle n'est pas égale à la somme des deux autres côtés, quoique l'angle droit soit égal à la somme des deux autres angles.

Les côtés n'étant pas entr'eux comme les angles opposés, ils ne seront pas entr'eux comme les arcs qui mesurent ces angles. Etant donc donné le triangle ABC, fig. 16, si l'on décrit des points A et B comme centres, et avec un même rayon à volonté, deux cercles, on n'aura pas . . . . . AC: BC:: l'arc NS: l'arc MR.

On aurait pu penser que les cordes n'étant pas entr'elles comme les arcs qu'elles soutendent (Géom. Liv. V. n°. 20), les côtés des triangles pourraient être entr'eux comme les cordes des arcs qui mesurent les angles opposés; mais on a encore reconnu que cette proportion n'était pas vraie. Ainsi quand on mènerait les cordes MR et NS, on n'aurait pas AC: BC:: la corde NS: la corde MR.

Enfin, voici le rapport qu'on a trouvé: Abaissons sur AB les perpendi culaires MP, NQ et CD, les triangles semblables ACD, AMP, donneront: AC: AM:: CD: MP;

et les triangles BCD, BNQ donneront BC: BN:: CD: NQ, ou, parce que BN=AM,

BC: AM:: CD: NQ.

=

De ces deux proportions l'on tire AG MP BCX NQ, et par conséquent :

AC: BC:: NQ : MP.

La même chose a lieu pour les cas des figures 17 et 18, comme il est facile de le voir.

Pour énoncer cette propriété, on a donné un nom aux perpendiculaires comme MP, NQ. Si on les prolonge jusqu'à la rencontre de la circonférence en T et V, on verra qu'elles sont les moitiés des cordes des arcs MRT, NSV, doubles de ceux qui mesurent les angles A et B; or les anciens nommant les cordes inscriptæ, nommèrent les perpendiculaires en question semisses inscripta; bientôt on n'écrivit plus que s. ins.; d'où l'on fit enfin sinus. Les lignes MP, NQ, sont donc les sinus des angles A et B; ensorte que le sinus d'un angle est la moitié de la corde d'un arc double de celui qui mesure cet angle. En d'autres termes, le sinus d'un angle est la perpendiculaire abaissée d'une des extrémités de l'arc qui mesure cet angle sur le rayon qui passe par l'autre extrémité. On appelle aussi ce sinus, le sinus de l'arc.

Cela posé nous avons ce théorème:

PREMIER PRINCIPE: Dans tout triangle rectiligne, les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés à ces angles.

Ainsi, dans le triangle ABC, fig. 15, quoique les sinus n'y soient pas marqués, on a:

sin A:a:: sin B:b:: sin C: c;

et toutes les proportions qu'on peut tirer de là.

74. Si le triangle est rectangle, il est facile de voir, par la figure 18, que le sinus de l'angle droit n'est autre chose que le rayon du cercle; ensorte que le principe précédent peut alors s'énoncer ainsi :

Dans tout triangle rectangle, le rayon est à l'hypotenuse comme le sinus d'un des angles aigus est au cote opposé.

75. Maintenant, comment tirer parti de ce que nous venons de découvrir? Puisque le triangle, fig. 15, donne sin C: sin A:: c:a, on voit bien qu'on pourra calculer a si l'on connaît sin C, sin A, et c; or on suppose qu'on a mesuré le côté c et les angles A et B, ce qui donne aussi l'angle C;