Troisième cas de la résolution des triangles.

80. On connaît les trois côtés, il faut trouver les angles.

Si les trois côtés étaient égaux, les trois angles le seraient aussi, et chacun d'eux vaudrait le tiers de deux droits.

Si deux côtés a et b étaient égaux, on pourrait ramener ce cas à celui où l'on connaît un angle et deux côtés; il suffirait pour cela de supposer le triangle ABC, fig. 30, partagé en deux triangles rectangles, par une perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle C sur la base AB ou c; car cette perpendiculaire diviserait l'angle du sommet et la base, chacun en deux parties égales; et puisqu'on connaît AB ou c, on connaîtrait aussi AB ou c. Faisant alors, dans un des triangles partiels égaux,

R:a:: sin C:c, on trouverait la valeur de sin C, et les tables donne-
raient C; enfin on conclurait de là B, et par conséquent A, puisque ces an-
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gles sont égaux.

Si les trois côtés étaient inégaux, en supposant encore une perpendiculaire CD abaissée d'un des angles C sur le côté opposé AB, pris pour base, fig. 31, ou sur le prolongement de ce côté, fig. 32, on pourrait encore résoudre le triangle proposé ABC en résolvant les triangles rectangles ACD, BCD; et pour résoudre ceux-ci, il suffirait de trouver la valeur des lignes AD, BD, que l'on appelle les segmens. On remarquera que ces segmens ne sont pas toujours des parties de la base; mais qu'ils sont, dans tous les cas, les distances de chaque sommet des angles sur la base au pied de la perpendiculaire. Or on connaît AB, qui, dans la fig. 31,· est la somme des segmens, et, dans la fig. 32, leur différence; il suffirait donc, pour avoir chacun d'eux en particulier, de déterminer, dans le premier cas, leur différence, et, dans le second, leur somme (Algèb. n°. 711 avec la note). Recherchons s'il n'y aurait point quelque proportion entre la somme et la différence des segmens de la base, et entre la somme et la différence des deux autres côtés du triangle.

Pour ajouter le plus petit côté CA au plus grand côté CB, et pour l'en retrancher, il faut décrire, avec CA pour rayon, et du point C pris pour centre, une circonférence, et prolonger BC jusqu'à la circonférence en E. Mais alors AB et BE, fig. 31, seront deux sécantes géométriques, qui

G

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donneront (Géom. Liv. V. Th. XXI. Coroll. III) AB: BE:: BF: BG, ou, ce qui revient au même :

AB: BC AC:: BC-AC: BD-AD.

Prolongeant aussi BAD, dans la fig. 32, jusqu'à la circonférence en G, les lignes BG et BE seront deux sécantes géométriques, et l'on aura. BG: BE:: BF: AB, ou AB: BE:: BF: BG, ou encore:

AB: BC+AC:: BC AC: BD+AD.

Les trois premiers termes de ces proportions étant connus, on pourra donc trouver les quatrièmes, savoir la différence des segmens, dans le cas de la fig. 31, et leur somme, dans le cas de la fig. 32. D'où l'on conclura les segmens-même, comme nous l'avons déjà dit. Etc.

Nous avons donc ce théorème :

QUATRIÈME PRINCIPE: Dans tout triangle rectiligne, un côté quelconque, pris pour base, est à la somme des deux autres côtés, comme la différence de ces mêmes côtés, est à la difference ou à la somme des

segmens.

Si le calcul donne le quatrième terme plus petit que le premier, cela prouve que le premier ou la base est la somme des segmens, que le dernier est la différence des mêmes segmens, et que la perpendiculaire tombe au dedans, fig. 31.

Si le calcul donne le quatrième terme plus grand que le premier, cela prouve que le premier ou la base est la différence des segmens, que le dernier est la somme de ces segmens, et que la perpendiculaire tombe au dehors, fig. 32.

Enfin si le calcul donne le quatrième terme égal au premier, cela prouve que la différence des segmens est égale à leur somme; c'est-à-dire que le segment AD est nul, que la perpendiculaire CD tombe sur CA, et que l'angle A est droit, fig 33.

Dans ce dernier cas, la base AB est tangente au cercle, et moyenne proportionnelle entre la somme des deux autres côtés et leur différence (Géom. Liv. V. Th. XXI. Cor. IV). Si, par exemple, la base est 4, et les deux autres côtés 5 et 3, on a:

Il est d'ailleurs facile de voir que si le principe actuel n'apprend rien lorsque le triangle proposé a ses trois côtés égaux, ou deux côtés égaux avec

une base plus petite ou plus grande que chacun d'eux, il s'étend cependant à ces cas-là, et que son énoncé est tout-à-fait général.

81. Ce même principe, combiné avec le premier, peut servir à trouver une distance inaccessible AC, fig. 34, sans instrumens.

Choisissez une base AB, et vous plaçant en A et en B, faites planter en C' et en C" des piquets dans les alignemens AC et BC; mesurez avec une perche les côtés des triangles ABC', ABC"; les côtés connus du premier vous feront trouver l'angle C'AB, les côtés connus du second vous feront trouver l'angle C"BA, et comme vous avez mesuré AB vous pourrez calculer AC et BC par le premier principe.

Si, par ce moyen ou par quelqu'autre, vous avez déterminé les distances AC et AD, fig. 35, avec l'angle A, le second principe vous donnera les angles C et D, et vous pourrez alors trouver CD.

Des lignes trigonométriques, en genéral.

82. Nous savons maintenant résoudre un triangle, dans tous les cas où la chose est possible. Nous n'avons eu à considérer pour parvenir à ce but, que les principales propriétés des sinus et des tangentes; mais il existe d'autres lignes trigonometriques fort intéressantes à considérer, et dont nous allons parler actuellement. Les rapports que ces lignes ont entr'elles et avec les côtés des triangles, fournissent des formules que l'on peut combiner de mille manières, et qui sont d'un très-grand usage dans toutes les parties des mathématiques. Quelques-unes servent d'ailleurs à calculer les tables de sinus.

=

Quand on a décrit l'arc qui doit mesurer l'angle CAB, fig. 36, et qu'on a abaissé le sinus MP, on a, dans le triangle rectangle AMP, deux côtés qui sont les sinus des angles opposés, savoir MP=sin A et AM=AD=R, qui est le rayon des tables ou le sinus d'un angle droit quelconque, et par conséquent le sinus de l'angle P. Quant au troisième angle AMP, il est égal à MAD, dont le sinus est MQ AP; ainsi le troisième côté AP est aussi le sinus de l'angle opposé AMP. On a donné un nom aux deux angles MAP et AMP, ou MAP et MAD, qui font ensemble un angle droit, et on a dit qu'ils étaient complémens l'un de l'autre. Plus généralement, lorsque d'un angle droit on retranche un angle quelconque, celui qui reste et celui qu'on a retranché sont dits complemens l'un de l'autre. D'où il résulte que

si un angle aigu est considéré comme étant en +, son complément est aussi en+, et que si un angle obtus est considéré comme étant en +, son complément est en -. Ainsi le complément de CAB, fig. 19, c'est + CAC", et le complément de CAB c'est C"AC". On dit la même chose des arcs, qui servent à mesurer ces angles. Un angle ou un arc de 25°40′ a donc pour complément 74°60′; un angle ou un arc de 160°80′ a pour complément 60°80'. Généralement un angle ou un arc étant de A son complément est 100°— Ao.

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Lorsque de deux angles droits ou de 200° on retranche un angle ou un arc quelconque, la quantité qui reste et celle qu'on a retranchée sont dites supplémens l'une de l'autre. Ainsi les angles CAB, CAE, qu'on appelle en géométrie angles de suite, sont dits ici supplémens l'un de l'autre, et il en est de même de CAB et de CAE, etc. Généralement un angle ou un arc étant de 4° son supplément est 200°A°. Dans un triangle, un angle est toujours le supplément de la somme des deux autres et réciproquement; et dans ce cas ces supplémens sont toujours en+, puisqu'ils sont moindres que 200.

Cela posé, MQ étant le sinus de CAC" ou de AMP, est le sinus du complément de CAB; pour abréger on dit que MQ ou AP est le cosinus de CAB ou de l'arc qui mesure cet angle. En général le cosinus n'est autre chose que le sinus du complément; ou, si l'on veut, c'est la partie du diamètre comprise entre le sommet de l'angle et le pied du sinus. MP et AP, MP' et AP', M"P" et AP", sont les sinus et cosinus des angles CAB, C'AB, C"AB.

Il est facile de voir, par la figure, que si l'angle est tout-à-fait fermé ou nul, son cosinus est égal au rayon, que ce cosinus diminue ensuite à mesure que l'angle augmente, et qu'il se trouve nul quand l'angle est droit. Si l'angle devient obtus le cosinus se rétablit, et augmente en même temps que l'angle, pour se retrouver égal au rayon quand l'angle s'est tout-à-fait ouvert ou qu'il est devenu égal à deux droits. D'ailleurs le cosinus d'un angle obtus est toujours égal au cosinus de son supplément aigu; mais il est dirigé en sens contraire, parce qu'on doit rapporter tous les angles aigus au premier quart de cercle, et compter la longueur des cosinus depuis le centre jusqu'au pied du sinus.

Tout comme on a considéré les sinus de complément, on a aussi considéré les tangentes de complément, qu'on a nommées cotangentes. Dans la fig. 36,

BE est la tangente de CAB, et DC est sa cotangente; réciproquement DC est la tangente de CAD, et BE est sa cotangente. Quand l'angle est nul la cotangente est infinie, parce que AC se trouvant couchée sur AB est parallèle à DC, la cotangente diminue ensuite graduellement quand l'angle augmente, et elle est nulle quand l'angle est droit.

Si on veut considérer ces lignes relativement à l'angle obtus, on verra que la tangente qui était infinie pour l'angle droit (n°. 78), redevient finie et se trouve dirigée en sens contraire dès que l'angle est obtus; ainsi BE' est la tangente de C'AB. On voit aussi que DC'est la cotangente de ce même angle; ensorte que cette ligne, qui était nulle pour l'angle droit, a repris une longueur finie, dirigée en sens contraire. A mesure que l'angle obtus augmente, la tangente diminue et la cotangente augmente, et quand il s'est tout-à-fait ouvert, et qu'il est égal à deux droits, la tangente est nulle et la cotangente est infinie.

Enfin nous devons dire que lorsqu'on a mené une tangente à l'extrémité d'un arc, le rayon prolongé qui passe par l'autre extrémité, et qui rencontre en général la tangente, s'appelle la sécante trigonométrique de l'arc ou de l'angle mesuré par cet arc. Et la sécante du complément se nomme cosécante: Ainsi AE est sécante de CAB et AC est sa cosécante; réciproquement AC est sécante de CAD et AE est sa cosécante (*). Tout comme le sinus, le cosinus, et le rayon, forment un triangle rectangle, on voit que la tangente, la sécante, et le rayon, en forment aussi un, et qu'il en est de même de la cotangente, de la cosécante, et du rayon.

Si l'angle est nul, la sécante est égale au rayon, et la cosécante est infinie; quand l'angle augmente, la sécante augmente, et la cosécante diminue. Lorsque l'angle est droit, la sécante est infinie, et la cosécante est égale au rayon. Enfin si l'angle devient obtus, la sécante va en diminuant, et la cosécante en augmentant; mais tandis qu'elles étaient d'abord dirigées dans le même sens, elles sont maintenant dirigées en sens contraire l'une

(*) On voit donc que, dans la trigonométrie, la sécante part toujours du centre et se termine de l'autre côté à la rencontre de la tangente, et que la tangente part toujours d'une des extrémités de l'arc et se termine à la séeante. Ce qui fait envisager ces lignes sous un point de vue plus particulier que celui sous lequel on les envisage dans la géométrie.