cercle (Géom. Append. Probl. XXIV), on a la corde de la sixième partie sin (100°) = 4°. Comme le côté du pentagons régulier inscrit est égal à la plus grande decagone. partie du rayon divisé en moyenne et extrême raison (Géom. Append. Probl. XXVI), si l'on fait a=1 dans la formule du n°. 54, on trouve pour le côté du décagone, ou pour la corde de 40°, (√5—1); donc sin 20° (√/5—1), = cos 20° = √10+2/5. Il faut du reste observer, que le sinus de chaque arc est le cosinus du complément de cet arc, et réciproquement que chaque cosinus est un sinus. 88. Voilà donc quelques sinus connus, qui peuvent servir de point de départ. Il faudrait voir maintenant, si connaissant sin A et cos A, sin B et cos B, on ne pourrait pas généralement déterminer sin (A+B) et . . . cos (A+B); car il est évident qu'on n'a pas sin (A+B)=sin A±sin B. Supposons que GM soit l'arc A, fig. 37, et DM l'arc B, on connaît sin A et cos A, ou MP et CP, outre sin B et cos B, ou DE et CE; et l'on voudrait trouver la valeur de sin (A+B) et de cos (A+B), ou DF et CF. Menant EH parallèle à MP et EK parallèle à CP, les triangles semblables CMP, CEH, donneront: sin A cos B R:sin A:: cos B: EH- cos A cos B R:sin B::cos A: DK= sin B cos A sin A sin B R:sin A:: sin B: EK=== R Ajoutant la valeur de DK à celle de EH ou KF, pour avoir DF ou sin (A+B), et retranchant la valeur de EKFH de la valeur de CH pour avoir CF ou cos (A+B), on obtiendra : faisant B' A B, on aura B'+BA, substituant ces valeurs et multipliant par R, on trouvera: R sin A R cos A cos. B sin (A — B) + sin B cos (A — B), - B) considérant sin (A→B) et cos (AB) comme les inconnues de ces deux équations, éliminant pour calculer leurs valeurs, et se souvenant que sin+cosa =R2, on trouvera, après les réductions: cos A cos B+ sin A sin B cos (AB) = 89. Si l'on fait dans (7) BA, on aura (no. 84): 2 sin A cos A cos Asin2 A 2 cos2 A R R sin 2 A= R cos 2 A= Ces formules serviront à calculer le sinus et le cosinus d'un arc double, lorsqu'on connaîtra le sinus et le cosinus de l'arc simple. Si l'on fait dans (7) B=2A, qu'on substitue ensuite à sin 2 A et à cos 24 les valeurs de (9), et qu'on simplifie encore les résultats au moyen de (1), on aura: sin 3 A3 sin A-· 4 cos3 A cos 3A 3 cos A+ R2 4 sin3 A (10).* " R2 Et si l'on faisait dans (7) B=3A, B=4A, etc., on pourrait obtenir les valeurs de sin 4A, cos 4A, sin 5 A, cos 5 A, etc.; toutes exprimées au moyen de sin A, de cos A, et de leurs puissances. -90. Maintenant, après avoir tiré de (1) cette équation: cos A+ sin2 | A=¦ R2, Si l'on met à la place de A dans la seconde formule (9) sous sa première forme, qu'on multiplie par R, qu'on divise par 2, et qu'on prenne le second membre pour le premier, on aura: cos2 A- — sin2 | AR cos A; retranchant d'abord cette équation de la précédente, puis les ajoutant ensuite, et extrayant les racines, on obtiendra : sin AVR-R cos A, 1⁄2 A= cos / A = √ R2 + 1⁄2 R cos A..... (11); ce qui servira à calculer le sinus et le cosinus de la moitié, d'un arc, par le cosinus de cet arc. On pourrait aussi trouver des formules où ces valeurs scraient exprimées au moyen de sin A. Si dans les valeurs des sinus et cosinus de 3 A, de 4A, de 5 A, etc., on met successivement à la place de A, A, A, A, etc., on obtiendra des équations propres à donner les sinus et cosinus du tiers, du quart, de la cinquième partie, etc, de tel ou tel arc connu; mais elles seront de degrés plus ou moins élevés. 91. Du reste les formules (7) et (8) en peuvent donner beaucoup d'autres, plus ou moins importantes; nous allons voir celles que l'on emploie le plus fréquemment. Ajoutez d'abord la valeur de sin (A-B) à celle de sin (A+B), ensuite retranchez la première de la seconde ; et faites la même chose pour cos (AB) et cos (A+B), vous aurez, après les réductions: R sin (A+B) + ¦ R sin ( A B), ... (12). sin A cos B sin B cos AR sin (A+B)-R sin (A—B), cos A cos BR cos (A-B)+ R cos (A+B), sin A sin BR cos (A-B)-R cos (A+B). 92. Supposant A + B = P, A —BQ, ajoutant ensemble ces deux équations, puis retranchant la seconde de la première, on aura: A=1(P+Q), B={(P—Q), outre A+B=P, A—B=Q; substituant ces valeurs dans (12), on en tirera facilement: 2 sin 1 (P+Q) cos 1⁄2 (P — Q) R 2 sin(PQ) cos (P+Q) Ꭱ 2 cos(P+Q) cas (P-Q) sin P cos P+cos Q R 93. Divisant ces formules les unes par les autres, et observant que, d'après (2), cos Q-cos P ... (14). 94. Si dans les deux premières de (12) on fait BA, on retrouvera une des formules (9); mais si on fait la même supposition dans les deux dernières de (12), on aura : = sin2 AR2-R cos 2 A... (15). cos AR2+ R cos 2 A, Ces résultats se tireraient aussi de (9). Si dans les deux premières de (13) on fait Q=o, 'on obtiendra: Si on fait la même supposition dans les deux dernières de (13), on trou Si dans la seconde ou la quatrième de (14), on fait encore Qo, et de même dans la troisième ou la cinquième, il en résultera: sin P tang P Ꭱ R cot P (18). R+ cos P cot P R2 (19). La première ne donnerait que 1 — 1. 95. Prenant dans (2) la valeur de la tangente de A+B, substituant dans cette valeur celles de sin (A+B) et de cos (A+B), tirées de (7), et observant que l'on a aussi, d'après (2), sin A cos A tang A sin B cos B tang B substituant encore ces valeurs, et divisant tout par cos A cos B, on aura: R2 (tang A+ tang B) tang (A+B) = on trouverait de même : tang (AB) = — R+tang A tang B Si dans la première on fait BA, il en résultera : Pour avoir tang A, on pourra écrire la valeur de R sin A sur celle de cos A, prises dans (11), multiplier ensuite haut et bas par la valeur de sin A, mettre sin1 A à la place de R2 — 12 cos A, extraire la racine indiquée et réduire; on obtiendra : Au moyen des valeurs do sin § A, cos ¦ A, sin ‡ À, cos ¦ A, etc. (no. 90), on pourrait avoir celles de tang A, tang A, etc. On pourrait aussi trouver des formules pour exprimer ees tangentes, en mettant dans (21), (22), etc., A, A, etc., à la place de A. Notions sur le calcul des tables de sinus, tangentes, etc. 96. Nous avons vu (n°. 87) que tout revenait, dans le calcul des lignes trigonométriques, à la détermination des sinus. Or, en prenant le rayon |