R: tang (4—50°) :: tang (A+B): tang (A—B)... (35).

Dans cette analogie, les trois premiers termes seront connus et feront trouver le quatrième, quand on aura déterminé et par conséquent - 50o. Or

ce qui n'est autre chose que le troisième principe (n°. 79). Ainsi on aura le logarithme de la tangente de, en ajoutant celui du rayon à celui de a et en soustrayant celui de b.

Du reste, il est facile de figurer cet angle, et de faire voir qu'il est plus grand que 50°. Le triangle proposé étant ABC, fig. 38, et le côté a étant plus grand que b, comme nous l'avons supposé (n°. 77), décrivons avec CA ou b pour rayon, et depuis C pour centre, l'arc ADEG, faisons l'angle BCE droit, et joignons EB et EG, nous trouverons (no. 79):

R: tang CEB::b:a;

donc CEB = 4. Et puisqu'on a a > b et CEB + EBC = 100°, il en résulte que CEB ou est plus grand que EBC, et plus grand que 50°. De plus, comme CEG 50°,BEG —— 50°.

107 bis. Voici encore, pour le cas actuel, une formule différente. Menons sur le côté a la perpendiculaire AP, nous aurons:

Si l'angle C connu est droit, on a sin C R et cos Co, d'où il ré

Rb

sulte tang B=— ; ou, ce qui revient au même, (no. 79),

a

R: tang B:: a ; b.

Si l'angle connu C est obtus, cos C est en moins et la tangente de Best décidément en plus, comme cela doit être parce qu'alors Best aigu.

Si l'angle connu C est aigu, cos C est en plus, et le second terme du dénominateur reste en moins. Alors,

1°. Si l'on a a=

b cos C
R

, ou a

CP, on trouve tang B; parce que

le triangle ACB devient le triangle ACP, et que l'angle B devient l'angle

droit P (n°. 78).

2o. Si l'on a a>

b cos C
R

ou a > CP, la tangente de B se trouve en

plus, parce que cet angle, dont le sommet est plus éloigné de C que le pied de la perpendiculaire AP, est par conséquent aigu.

3o. Si l'on a a<

b cos C
ou a < CP, la tangente de B se trouve en
"
R

moins, parce que cet angle, dont le sommet est plus rapproché de C que le pied de la perpendiculaire AP, est par conséquent obtus.

SECONDE PARTIE.

DES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES.

108.

TOUTES

CHAPITRE PREMIER.

Des principes relatifs à cette partie.

Toutes les lignes possibles sont ou droites ou courbes; mais il n'y

a qu'une seule et même espèce de lignes droites, et il y a une infinité de courbes différentes.

Dans toute ligne on trouve une succession non interrompue de points, et la position respective de ces points caractérise la ligne et la distingue de toute autre.

On peut faire les mêmes observations relativement aux surfaces; et quant aux solides, on voit bien qu'ils sont déterminés par leurs surfaces, qui les enveloppent en quelque sorte, et les circonscrivent de toutes parts.

109. Il est évident qu'il ne serait pas possible de trouver la position absolue d'un point dans l'espace; mais aussi résulte-t-il de ce que nous venons de dire, que ce n'est que sa situation à l'égard de tel ou tel autre point, de telle ou telle ligne, de telle ou telle surface, qui peut nous intéresser. C'est pourquoi on se représente dans l'espace trois plans indéfinis, s'entrecoupant entr'eux sous des angles donnés, et la position d'un point se trouve déterminée quand on connaît la longueur des trois droites menées depuis ce point jusqu'à la rencontre des trois plans, parallèlement à leurs intersections communes.

En cherchant à déterminer ainsi la position d'une suite de points formant une ligne ou une surface, il faudra, pour commencer par ce qu'il y a de plus simple, ne considérer d'abord que les lignes, et parmi celles-ci prendre en premier lieu la ligne droite et les courbes planes, c'est-à-dire

les courbes que l'on peut tracer sur un plan; (le cercle, par exemple, est du nombre de ces dernières); tandis que si l'on courbait un plan sur lequel on aurait tracé d'abord une courbe, celle-ci cesserait d'être plane, et appartiendrait dès lors à la classe des courbes à double courbure.

110. Cela posé, nous nous réprésenterons sur un plan, deux droites indéfinies XX', YY', fig. 39, s'entrecoupant entr'elles sous un angle donné, et la position d'un point M, pris dans ce plan, se trouvera déterminée quand on connaitra la longueur des droites MP, MQ, menées depuis ce point jusqu'à la rencontre des lignes XX', YY', et parallèlement à ces lignes (*).

Si le point M s'écarte ou se rapproche des deux lignes XX, YY', les longueurs MP, MQ augmenteront ou diminueront, et si le mouvement de ce point ne se fait pas par sauts, mais qu'il soit continu, il tracera sur le plan une ligne droite ou une courbe plane. Alors on pourra se représenter les longueurs MP, MQ comme deux quantités dont chacune passe par différens états de grandeur, en répondant successivement aux divers points de la ligne décrite. Or les quantités qui, dans une même figure, changent ainsi de grandeur, s'appellent des variables, et se désignent ordinairement par les dernières lettres de l'alphabet, x, y, z, etc., comme les inconnues dans l'algèbre ordinaire; tandis que les quantités qui ne changent point, dans une mème figure, sont des constantes, et se représentent par d'autres lettres que les dernières, comme les connues dans l'algèbre. Dans un cercle donné, par exemple, le rayon, le diamètre, la circonférence, les arcs d'un certain nombre de degrés, sont des constantes, pendant que la perpendiculaire abaissée d'un point de la circonférence sur le diamètre, et les portions correspondantes de celui-ci, sont des variables.

111. On voit évidemment dans la fig. 39, qu'on peut à la place de PM, QM, prendre AQ, AP; mais pour ne pas abandonner, en quelque sorte, le point M, ne faisons qu'une de ces substitutions, et prenons QM et AQ, ou PM et AP. En nous arrêtant à cette dernière manière, nous appellerons toutes les longueurs QM, rapportées en AP sur la ligne XX', des coupées ou des abscisses, que nous désignerons par x, et toutes les lon

(*) Si l'on connaît MP, MQ, et l'angle des axes, égal à MQY, égal à MPX, on déterminera facilement la grandeur des perpendiculaires abaissées du point M sur les axes.

78

gueurs PM, que nous ne rapporterons point en AQ, quoique nous pus. sions le faire, des appliquées ou des ordonnées, que nous désignerons par y. Alors la ligne XX' s'appellera l'axe des abscisses ou des x, et la ligne YY'' s'appellera l'axe des ordonnées ou des y; en même temps le point A s'appellera l'origine des abscisses. L'abscisse et l'ordonnée correspondante sont souvent comprises aussi sous la dénomination générale de coordonnées. 112. Si le point que l'on considère, au lieu d'ètre en M, est en M', l'abscisse AP sera toujours x, mais l'ordonnée PM' sera dirigée en sens contraire de PM et deviendra y. Si le point est M" les coordonnées seront donc AP' =—x et PM"y. Enfin si le point est M"" les coordonnées seron x et y.

--

113. Appliquons quelques-uns de ces principes, par forme d'exemple, à la courbe circulaire, que nous connaissons si bien.

Supposons que les axes des coordonnées se rencontrent à angles droits au centre du cercle de la fig. 40, les perpendiculaires MP, M'P', etc., abaissées de la circonférence sur le diamètre AB, seront les ordonnées y, y', etc., et les lignes CP, CP', etc., seront les abscisses x, x', etc.; en me202 nant donc les droites CM, CM', etc., on aura y =√cm2

y' = √‹‚12 — x2, etc.; mais puisque dans le cercle tous les points de la courbe sont à une même distance du centre, ou que tous les rayons sont égaux, on a CM= (M' etc. =r. Donc y = √r2 — x2, y' = √\/ra— x'2, etc.; ou, ce qui revient au même,

=

-

P

Y

y2 = r2 — x2,

y'2 = r2x22, etc.

De là il résulte :

y: y' :: √/r2 = x2 : √/r2 — x12;

y2 : y12 : : r2 — x2 : r2 — x12.

Or r2 — x2 = (r+x)(r−x)=(CB+CP) ( CB-CP)=AP BP (*).

On trouverait de même r2x22 = ( r + x' ) ( r — x′ ) = AP' × BP'. Cela posé, pour énoncer plus facilement les égalités et les rapports que nous venons de trouver, quand nous considérerons une ordonnée quelconque, nous appellerons segmens correspondans les distances du pied de cette

(*) On prend ici AC pour CB, parce que ce sont des rayons égaux et qu'il ne s'agit nullement de leur direction; il s'agit seulement d'avoir une ligne égale à CBCP, comme qu'elle soit placée, fût elle, si l'on veut, hors du cercle.