ordonnée aux deux points où la courbe rencontre l'axe des abscisses. Nous dirons donc que dans le cercle le carré de chaque ordonnee est égal au rectangle des segmens correspondans, et que les carrés des différentes ordonnées sont entr'eux comme les rectangles des segmens correspondans. Sur quoi on doit observer que dans telle ou telle courbe les carrés des ordonnées pourraient être entr'eux comme les rectangles des segmens correspondans, sans que le carré d'une ordonnée quelconque fùt égal au rectangle des segmens. La première partie du théorème ne peut avoir lieu sans la seconde; mais la seconde pourrait avoir lieu sans la première.

114. On pourrait donner aux deux proportions précédentes cette forme, qui les généraliserait beaucoup (Algèbre, n°. 335. D):

ƒ (y): ƒ (y') : : F ( x ) : F ( x' );

et nous avertirons, dès à présent, que c'est là le caractère d'une ligne régulière, savoir que certaines fonctions semblables des ordonnées soient entr'elles comme certaines fonctions semblables des abscisses correspondantes.

115. Enfin, si l'on veut que les seuls caractères y et x désignent toutes. les ordonnées MP, M'P', etc., et leurs abscisses correspondantes CP, CP', etc., qui ne sont qu'une seule ordonnée et une seule abscisse, l'une et l'autre variables et passant par tous les degrés de grandeur que comporte la courbe, on n'aura besoin que de la seule équation y === Vra x2, pour caractériser le cercle; c'est pourquoi, soit qu'on la laisse sous cette forme, soit qu'on l'écrive ainsi y22x2, ou ainsi y2(r+x) (r−x), ou etc., on l'appelle l'equation du cercle.

Il est à remarquer que sous cette dernière forme, elle exprime, d'une manière très - explicite, que le carré de chaque ordonnée est égal au rectangle des segmens correspondans; propriété qui du reste n'est pas différente de celle qu'on énonce dans les élémens de géométrie, en disant: la perpendiculaire abaissée d'un point de la circonférence sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de cette ligne. Et pour rendre bien sensible l'identité de ces deux théorèmes, il suffit de tirer de la dernière équation cette proportion: r+x:y :: y: r-x.

116. Nous venons de voir que de l'égalité des rayons résulte la propriété de la perpendiculaire; l'on sent bien d'avance que cela est réciproque, et qu'en affirmant de la courbe la seconde propriété il en résulte la première: ensorte qu'on doit avoir la même équation en traduisant l'une ou l'autre en

algèbre. Il en serait de même si l'on partait de quelqu'autre propriété caractéristique du cercle; et en général toute propriété particulière à une ligne régulière et qui n'appartient qu'à elle, peut servir à la caractériser, à la distinguer de telle ou telle autre ligne; et cette propriété renferme implicitement toutes les autres. Elle peut donc fournir une définition de la ligne et conduire à son équation, laquelle sera toujours la même lorsqu'on ne changera ni l'inclinaison des axes l'un sur l'autre ni l'origine des abscisses. Et nous verrons que de l'équation on peut retourner à la ligne, que l'on appelle alors le lieu géométrique de l'équation: on peut la décrire, reconnaître sa forme et sa nature, et découvrir toutes ses propriétés.

Mais si l'on change l'angle des axes, ou l'origine des abscisses, ou bien l'une et l'autre de ces choses, alors l'équation pour l'ordinaire change aussi; et une même ligne se trouve avoir par là plusieurs équations. Cependant on peut trouver pour chaque ligne une équation la plus générale possible, et dont les autres ne sont alors que des cas particuliers. On peut même souvent comprendre dans une seule équation plusieurs courbes de genres différens.

Quant aux lignes vraiment irrégulières, il est évident qu'elles n'ont point d'équation, puisque les rapports des fonctions de leurs coordonnées changent continuellement.

117. En reprenant l'équation du cercle:

et en se souvenant que x et y désignent dans cette équation des variables passant par différens degrés de grandeur, il est clair qu'on pourra chercher quelles seront les longueurs de y pour différentes longueurs qu'on voudra supposer à x; et cela, soit qu'on cherche ces longueurs en nombres, soit qu'on veuille les construire géométriquement. C'est là un des moyens que l'on emploie pour reconnaître la forme de la ligne dont on a l'équation.

Par exemple, si l'on fait ici xo, on aura y=√r2 =±r, ce qui exprime qu'il y a à l'origine des abscisses, deux ordonnées égales au rayon et dirigées en sens contraire.

Si l'on fait xr, on a yo, ce qui apprend que la longueur de l'ordonnée est nulle lorsque l'abscisse égale la constante r, ou que la ligne rencontre l'axe des x à la distance r.

On pourrait aussi en supposant r 10, par exemple, faire successive

ment

ment æ égal à 1, 2, 3, 4, etc., et chercher quelles seraient les valeurs correspondantes de y.

Or on voit que cette manière de procéder rattache les équations des lignes aux problèmes indéterminés qui ne fournissent qu'une équation avec deux inconnues; car l'équation d'une ligne contient toujours des abscisses et des ordonnées, ou des x et des y, variables qui se rapportent aux inconnues des problèmes en question; et dans ces problèmes on peut aussi, en général, supposer à une des inconnues plusieurs valeurs successives qui donnent les valeurs correspondantes de l'autre inconnue. Ensorte que chaque équation à deux variables x et y est censée appartenir à une ligne dont les a sont les abscisses et les y les ordonnées.

L

CHAPITRE II.

De la ligne droite: équations, construction des équations, propriétés de

118. SUPPOSONS

cette ligne.

UPPOSONS que la ligne droite, fig. 41, passe par l'origine des abscisses, on aura, à cause des triangles semblables,

y:x:: y':x:: y": ":: etc.

Mais si l'on désigne par m et n les angles que cette droite fait avec les axes des abscisses et des ordonnées on aura aussi y De ces deux proportions l'on tirera:

x:: sin m; sin n.

Et, en désignant par x et y seulement les coordonnées variables, on aura pour l'équation de la ligne en question:

119. Sur quoi l'on peut observer que si m est donné la position de la droite relativement à l'axe des x est déterminée; elle l'est aussi relativement à l'autre axe quand n est donné. Mais comme on doit supposer que l'inclinaison des axes entr'eux est fixe et connue, si un de ces angles m ou n est donné, l'autre l'est aussi.

120. Voyons si cette équation convient à toutes les positions de la droite qui passe par l'origine.

sin n

m sin n

1o. Si l'angle m diminue, son sinus diminue aussi; en même tems l'angle n et son sinus vont en augmentant, alors sin m désigne bientôt une fraction, qui devient toujours plus petite, de même que le produit six relatif à telle ou telle abscisse, et, par conséquent, l'ordonnée correspondante y, égale à ce produit, devient aussi toujours plus petite; c'est ce que l'on voit du reste fort bien dans la figure. Mais quand la droite arrive sur l'axe des x et se confond avec lui, l'angle m est nul, de même que son sinus, et l'on a

DE LA LIGNE DROITE: ÉQUATIONS, CONSTRUCT. DES ÉQUAT., etc. 83 y=zéro, pour toutes les valeurs de x. C'est donc là l'équation de l'axe des x. Je dis...... yo.

Le contraire de ce que nous venons de dire a lieu quand l'angle m augmente, et lorsque la droite se confond avec l'axe des y, le sinus de n est nul; alors l'équation écrite ainsi : y, donne x zéro,

sin n sin m

pour toutes les valeurs de y. C'est donc là l'équation de l'axe des y. Je dis

2o. Si l'angle m continue d'augmenter, fig. 42, et devient obtus, après avoir été droit, son sinus, après avoir atteint en longueur le rayon, rediminuera de nouveau, mais il sera toujours en tant que l'angle n'aura pas 200°. En même tems l'angle n, qui était devenu zéro, se rétablira en sens contraire et il ira en augmentant; mais en passant d'un côté à l'autre de l'axe des y il prendra le signe -, de même que son sinus. Cependant la formule ne sera point changée, puisque l'abscisse x aura pris aussi le signe -; ce qui donnera :

Si la droite, en continuant son mouvement, vient se placer encore sur l'axe des x, on aura de nouveau sin mo et y = 0.

3o. Si elle va plus loin, m devenant plus grand que 200° son sinus sera en, tout comme celui de n; mais x et y seront aussi en-; ce qui donnera :

La droite se couchant encore sur l'axe des y, on aura, pour la seconde fois, sin no et x=0.

=

4°. Enfin la droite passant dans le dernier angle formé par les axes, l'angle m, plus grand que 200°, et plus petit que 400°, aura toujours son sinus en —; mais l'angle n, ayant passé les 200° depuis qu'il est en moins, son sinus sera sin n =+ sin n; ce qui donnera :