placée au-dessous de l'axe, ira toujours en augmentant avec .

Ces circonstances appartiennent à la ligne DO, et la figure aidera à les comprendre.

3°. Si on supposait a en - et ben, et 4°. si on supposait a en- et ben, on pourrait conclure de l'équation modifiée pour ces cas, suivant qu'on prendrait x en + ou en xenou en -, le cours de la droite tracée du deuxième au quatrième angle des axes, et au-dessus ou au-dessous de l'origine.

132. Du reste, déterminer ainsi le cours d'une ligne d'après son équation, reconnaître sa nature, sa forme, sa position, ses propriétés, c'est ce que l'on appelle discuter cette équation; et l'on dit ausssi quelquefois discuter la ligne.

Discuter une équation, c'est donc faire plus que de trouver le lieu de cette équation ou que de la construire (n°. 128). Quand on a construit, ou trouvé le lieu, on n'a pas encore achevé la discussion.

N. B. Essayez de construire 2y+x=2, y=-3+x,y=-x-1, etc.

M

CHAPITRE II I.

Problèmes généraux relatifs à la ligne droite.

133. Nous savons maintenant qu'une équation qui peut être ramenée à cette forme yax+b, appartient à une ligne droite; or il est facile de voir que c'est le cas de toute équation du premier degré à deux inconnues. Lorsque les coéfficiens a et b ne sont point donnés, nous savons seulement que la ligne est droite, mais nous ne connaissons pas sa véritable position relativement aux axes; pour que cette position soit déterminée, il faut que a et b soient donnés, et que l'on ait de plus l'unité de ligne, et l'angle que font entr'eux les axes (n. 124).

Cependant il peut arriver que a et b n'étant pas immédiatement donnés, on ait certaines conditions propres à déterminer ces quantités. La recherche des coéfficiens a et b, dans ce cas, donne lieu aux questions suivantes, que l'on rencontre souvent en appliquant l'algèbre à la géométrie.

134. Trouver l'equation d'une droite assujettie à passer par deux points donnés.

Les deux points en question étant donnés, leur position relativement à deux axes fixes sur un plan est connue; c'est-à-dire que l'on a la grandeur de leurs coordonnées. Or il est clair qu'on ne demande pas ici une opération graphique, qui consisterait à tracer avec une règle la ligne demandée, en la faisant passer par les deux points donnés : on demande une équation qui soit celle de cette ligne, et qui exprime la condition à laquelle elle est assujettie. L'équation générale de la ligne droite est yax+b; elle comprend donc la droite en question, comme un cas particulier; mais il faut trouver quelles sont les valeurs de a et de b qui peuvent satisfaire à la condition: exigée. Nommons «, «', les abscisses connues du premier et du second point donnés, et, s', leurs ordonnées aussi connues. L'équation générale sera satisfaite quand on y mettra ces valeurs à la place de x et de y, et l'on aura simultanément :

Voilà deux équations, dans lesquelles a, a,, ', sont les connues, a et b

les inconnues, il faut donc traiter ces équations par l'élimination, pour en tirer les valeurs de a et de b qui conviennent à la ligne, et qui seront exprimées en a, a, B, §.

ན

و

Si l'on retranche la seconde équation de la premiere, on a..

ß — ß' = ɑ ( α — a' ), d'où l'on tire:

α

∞ --- 06

mettant cette valeur de a à la place de cette lettre dans la première équation, on obtient :

En substituant cette même valeur de a dans la seconde équation on aurait:

Mettant enfin les valeurs particulières de a et b dans l'équation générale de la ligne droite, on trouvera pour l'équation demandée :

135. On pourrait donner à cette équation une forme plus simple; il faudrait pour cela, en substituant la valeur de 6 dans l'équation générale, prendre cette valeur sous l'une ou l'autre des formes qu'elle a en (4) et (B) avant la réduction; on aurait ainsi :

équations qui reviennent l'une à l'autre, comme il est facile de le vérifier. N. B. J'ai préféré faire tout ce calcul de cette manière, parce que les commençans aiment à retrouver dans les équations, au moins pour le premier moment, les formes qu'ils connaissent.

136. Si dans cette équation, sous l'une ou l'autre de ses formes, on fait a; on trouve yß, comme cela doit être, et réciproquement si l'on

fait y 6, on trouve xa. De même si l'on fait xa, on trouve ye et réciproquement.

Si l'on fait = 6', ou 6 — 6' —0, on trouve yẞ, pour toutes les valeurs de x c'est-à-dire que l'ordonnée est constante, ou que la droite est parallèle à l'axe des x; ce qui doit être puisqu'elle passe aux extrémités de deux ordonnées et ' qu'on vient de supposer égales (n°. 127).

Si l'on fait a =α′ ou a .α =o, on trouve xa, pour toutes les valeurs de y; ce qui signifie que la droite est parallèle à l'axe des y; comme cela doit être, puisqu'elle passe par deux points qui ont la même abscisse, ou qui sont également éloignés de l'axe en question (no. 127 ).

Si l'on fait o et 60, un des points donnés sera l'origine, et l'équation deviendra:

car Basin m: sin n. Ce serait la même chose si l'on faisoit ao et ß'o. Si l'on supposaito eto on trouverait y=o, pour toutes les valeurs de ; paree qu'alors la ligne ne serait autre chose que l'axe même des x (n°. 120).

Si l'on voulait enfin que a et a fussent nuls, on trouverait x=0, pour toutes les valeurs de y; et en effet la ligne deviendrait l'axe des y (no. 120). 137. Du reste, on voit facilement dans la fig. 45, que la distance des deux points dont les coordonnées sont a, eta, est un côté d'un triangle dont les autres côtés sont a—a et B. Si l'on désigne donc par > l'angle des coordonnées, celui qui est opposé à ♪ sera, dans la disposition de la figure, son supplément, et son cosinus aura un signe contraire; d'après cette observation et d'après le n°. 100, on aura :

Ce serait la même chose si les plus petites coordonnées étaient a, b, et les plus grandes a', '; car les deux carrés resteraient les mêmes, et le dernier terme ne changerait point par un double changement de signe.

Si la droite était placée comme dans la fig. 45. bis, l'angle opposé à ♪ serait > même, et le dernier terme de la formule semblerait devoir prendre le signe moins (no. 100); mais d'un autre côté BB serait aussi en moins, ce qui redonnerait le signe plus.

Si la droite étoit parallèle à l'axe des x, il est clair qu'on aurait e' = 6

et par conséquent 6-0; ensorte qu'on trouverait ♪=±( œ — «' ). Si elle était parallèle à l'axe des y, on aurait a=α, a— c' = 0, a' d'où il résulterait ♪± ( B — B′ ).

=

Si elle passait par l'origine des abscisses, et que ce point fùt un des deux dont on cherche la distance, par exemple celui dont les coordonnées sont désignées par a', ', ces quantités seraient nulles, et la formnle générale donnerait :

Si on voulait supposer en même tems la droite parallèle à l'un des axes ou à l'autre, elle ne serait plus que ces axes eux-mêmes, et l'on aurait ou... B=0 ou α=o; d'où il résulterait ± « ou d + B.

138. Dans tous les cas, si l'angle des coordonnées était droit, on aurait cos y=o, et la formule générale deviendrait :

139. Si l'on n'avait assujetti la ligne qu'à passer par un seul point donné («, B) (*), en mettant et @ à la place de x et de y dans l'équation générale y=ax+b, on n'aurait eu pour déterminer a et b que l'équation. . . =aa+b. C'est-à-dire que la valeur de a aurait toujours été exprimée en b, ou celle de b en a; ainsi il aurait toujours fallu fixer au moins une de ces quantités pour que la position de la ligne fùt déterminée.

on a

Si de l'équation précédente on tire la valeur de b exprimée en a, b=ẞaa; mais si l'on prend la valeur de a exprimée en b, on trouve B b

α

; ce qui donne ces deux équations:

qui peuvent être considérées comme étant chacune l'équation de la droite en question.

Mais il faut observer que lorsque b est connu, il y a alors un second point donné par lequel passe la ligne; c'est pourquoi les équations du

(*) J'entends un point dont les coordonnées sont et ; j'emploîrai désormais, d'après Francœur, cette expression abrégée.