On voit par le tracé même de ces courbes que le contact suzcessif des dents aura toujours lieu sur la ligne droite mn, et que les dents transmettent le mouvement entre les roues de la même manière que si cette ligne qui est tangente en même temps, am deux cercles primitifs, était fixée à chacun d'eux, et qu'elle s'enroula sur l'un en se déroulant sur l'autre.

On porte, à partir du point o l'épaisseur des dents, soit sur les cercles primitis A et B, soit sur la tangente mn, suivant que l'on a calculé leurs dimensions pour être comptées sur les circonférences des cercles A et B, ou sur celles des cercles A' et B'. Enfin, on termine les dents à la longueur convenable par des cercles comme pour l'engrenage épicycloïdal.

Nous avons donné à la ligne mn une direction quelconque: aussi les dents pourront-elles avoir une forme qui ne convienne pas; elles seront ou trop pointues ou trop convexes... ; c'est un léger inconvénient du tracé de cet engrenage, d'être souventobligé de tâtonner assez long-temps avant de trouver quelle est la direction de cette ligne, pour qu'il en résulte une forme de dents joignant la solidité à la facilité d'exécution: mais aussi il est avantageux dans certains cas de pouvoir choisir la forme des dents; ainsi cela donne la faculté de rejeter pour les dents en bois une forme écrasée, parce que les fibres du bois devant être parallèles au rayon des roues, on se trouve obligé pour former la surface des dents, d'en couper un nombre d'autant plus grand que la dent est moins alongée.

Si l'on prend cette ligne mn perpendiculaire à la ligne a des centres, on obtient pour l'une des roues des dents de forme concave telles, que l'on est obligé d'affaiblir la racine des dents de l'autre roue pour que le contact ait lieu, et que le dégagement soit possible: ce tracé ne pourrait donc convenir à des engrenages de force; mais il y a des circonstances où il peut

être utile.

Pour l'engrenage intérieur,au contraire, lorsque l'on prend la ligne mn inclinée à la ligne des centres, on arrive à des dents qui le plus souvent seraient impossibles à exécuter, tandis que lorsqu'on prend cette ligne perpendiculaire à la ligne des cen tres, on obtient des formes couvenables : les dents de la grande roue sont concaves, mais pas assez pour perdre de leur soliditė.

L'engrenage à développantes offre deux avantages sur celui epicycloïde: i° les pressions étant constantes en chaque point le contact, l'usure des dents est uniforme, car l'usure est indépendante de la vitesse; par conséquent en s'usant elles conserent la forme de développantes;

2o Le contact ayant lieu suivant une ligne droite, on peut aire varier la distance des axes pour laquelle le tracé a été fait, Excepté le cas où cette ligne de contact est perpendiculaire à la igne des centres, sans apporter aucun trouble à la marche de engrenage; propriété très commode pour la pose, et qui permet noutre de rapprocher les roues quand les dents ont été usées près un certain temps de roulement. L'engrenage à développante offre de plus l'avantage de pouvoir se tracer exactement dans les ateliers au moyen d'un fil dont l'extremité est armée Pune pointe et que l'on enroule autour d'un cercle: aussi nous e préférons en général à celui à épicycloïde, auquel il peut oujours être substitué.

Une partie de ce que nous venons de dire sur cet engrenage st extrait de mémoires très étendus de M. Th. Olivier, auxquels nous renvoyons pour de plus amples détails.

Engrenage conique.

Soit y o x fig. 391, l'anle font les axes des que

oues, si on divise cet

angle par une ligne o u, telle que les longueurs des perpendicules uA et uB abaissées sur les axes soient dans le rapport inverse du nombre de

fig. 391.

K

E

E

tours que doivent faire les deux roues, et que l'on fasse tourner autour des axes les deux triangles rectangles uo et uВo, ces triangles engendreront deux cônes tangents qui jouent dans cet engrenage le même rôle que les cercles primitifs dans l'engrenage cylindrique, et tout ce que nous avons dit pour cet engrenage s'applique ici: il n'y a d'autre difficulté qu'à faire dans l'espace ce que nous avons fait sur un plan. Il est évident que les faces latéra

les des dents doivent être des surfaces coniques, ayant pour som met commun le point o, sommet des cônes primitifs; ces surface coniques auront pour directrices des épicycloïdes sphériques des développantes sphériques, suivant que l'engrenage dem être à épicycloïde ou à développante : au moyen d'une épure de géométrie descriptive, on cherche l'intersection de ces surfaces par des plans perpendiculaires aux axes des roues, et on obtient ainsi les courbes des dents sur un plan : il sera alors facile de faire des panneaux que l'on portera sur les plans » Au, nB, ou d'autres parallèles placées à la distance convenable de sommeto, et au moyen d'une règle passant toujours par le sommet, et s'appuyant sur les panneaux, on pourra exécute avec exactitude les surfaces des dents. Telle est la seule m thode exacte pour le tracé des dents des roues d'angle; elle n'est cependant pas employée, soit par ce qu'on ne la connal pas, soit à cause de l'épure de géométrie descriptive qu'ele nécessite; quoique pour les développantes sphériques ceti: épure soit très simple.

Voici la méthode généralement suivie; en termine les jante des roues v Gu H, u HKz, du côté opposé aux cônes primitia par d'autres surfaces v CDu, u E Fz dont les sommets sont su les axes en x' ety', et dont les génératrices sont perpendic laires à celle des cônes primitifs, de manière qu'en u ces deux cônes auraient un plan tangent commun. C'est sur la surface de ces cônes qu'on applique les panneaux des courbes des denta dont les faces latérales sont engendrées par des lignes droites allant de ces panneaux au sommet commun o. Le profil de l courbe de chaque dent, n'occupant sur ces cônes qu'une tris petite étendue, on ne commettrait qu'une erreur assez legért pour pouvoir être négligée, en regardant les portions de surface conique correspondantes à chaque dent, comme se confoudant avec le plan tangent au point ou le contact a lieu : par cette considération le problême se trouve ramené au tracé d'un engrenage plan, dont les cercles primitifs auraient pour rayan arêtes ux et uy des cônes, car si on développe les cônes sur plan tangent, les circonférences vAu, uBz viendront se placer sur une certaine portion des circonférences de ces cercles; su cette portion de circonférence on tracera les dents, soit i

picycloïde, soit à développante, de la manière que nous vons indiqué; ensuite on découpera sur un panneau flexible les Durbes des dents, et on enroulera ce panneau autour des cônes ue l'on a developpé : l'exécution des dents deviendra alors cile. On pourrait d'ailleurs préparer absolument de même, eux nouveaux panneaux développés pour les surfaces coniques 'H, Hy'K qui terminent les jantes du côté du point de rentre o des axes, et dont les génératrices sont parallèles à celles es premiers cônes limites; en appuyant une règle sur les points rrespondants de ces deux panneaux, on pourra exécuter aussi cilement que pour un engrenage cylindrique les faces lateles des dents.

Engrenages de With. Les engrenages cylindriques et conies, dont nous venons de donner les différents tracés, ont un Bottement de glissement qui use les dents et consomme un trail utile; on a long-temps cru qu'il était impossible de faire sengrenages donnant des vitesses angulaires uniformes, et ayant en même temps qu'un frottement de roulement; mais 1811, lors du concours des prix décennaux', le mécanicien lith présenta à l'Institut des engrenages cylindriques et conipies, jouissant, disait-il, sans pouvoir le démontrer, de ces ux propriétés regardées jusqu'alors comme incompatibles : ce fut qu'en 1825 que M. Th. Olivier donna la théorie de ces grenages, en indiquant les surfaces les plus convenables pour s dents, et les moyens pratiques de les obtenir.

Voici le principe de cet engrenage, supposons deux cylindres ngents, dont les axes soient parallèles, et traçons dans le plan ngent qui leur est commun une ligne quelconque, qui renintre la génératrice de contact: si on enroule le plan sur les eux cylindres, cette ligne deviendra sur chacun une hélice, et s deux hélices se conduiraient avec frottement de roulement, vitesse angulaire uniforme; mais comme ces deux courbes 'ont qu'un point de contact, elles ne pourraient, sans s'éapper faire rouler les deux cylindres : pour obtenir cet effet, n construit des surfaces engendrées par deux courbes tangenes l'une à l'autre, au point de l'hélice situé sur la tangente ommune aux deux cylindres, et ayant par conséquent ellesêmes une tangente commune en ce point; alors on a deux

dents saillantes qui se conduiront comme le faisaient les deux hélices. On peut prendre pour surface des dents celle du filet de vis carré fig. 392, fig. 393, fig. 394; alors le frottement de roulement n'a lieu que sur les deux hélices primitives; et il fart abattre sur l'une des dents tout ce qui n'appartient pas à cette hélice, pour en faire un couteau qui ait cette courbe pour tra chant; ce tranchant s'émousse avec le temps, mais il ne peut se transformer qu'en une partie circulaire, pour laquelle le contact se fera comme sur l'arrête vive du couteau.

Les fig. 393 et 394 présentent une coupe de deux dents filets en contact.

La fig. 393 montre que le contact entre les deux filets de ve engendrés par le rectangle p n m q et le triangle ba c, an successivement lieu sur la courbe idéale décrite par le point . dans ce cas, c'est l'arête saillante du filet rectangulaire qui roule sur la face oblique du filet triangulaire.

La fig. 394 montre que les deux filets se mettent en conta par les divers points successifs des deux courbes saillantes décrites par le point q commun aux deux trapèzes m n p q rettqs? qui engendrent les deux filets de vis.

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Les mêmes raisonnements s'appliquent à l'engrenage co que; les hélices sont engendrées sur des cônes, au lieu de l'être sur des cylindres.

Cet engrenage ne peut servir à transmettre de grands efforts, parce que entre deux dents il n'y a qu'un seul point de contact, quoiqu'on puisse faire conduire en même temps auta de dents qu'on le désire; mais il est très précieux pour les m chines de filatures dans lesquelles on commence généralemen à l'employer: il offre le grand avantage de se

perfections