41 milliémes, & que tous les chiffres décimaux fuivans à l'infini, feront des 6.

Lorfque les mêmes chiffres reviennent ainfi dans un quotient; l'on n'écrit que deux périodes de chiffres femblables, & l'on met enfuite &c pour marquer que çes périodes reviendront toûjours à l'infini.

THEOREM E.

46 1°. Tout dividende moindre que 9, qui sera divifé par 9, donnera pour le quotient, une fuite infinie de chiffres décimaux égaux à celui du dividende.

2o. Tout dividende moindre que 99, qui fera divifè par 99, donnera pour le quotient, une fuite infinie de périodes décimales de deux figures égales à celles du dividende.

3°. Tout dividende moindre que 999, qui fera divifé par 999, donnera pour le quotient, une fuite infinie de périodes décimales de trois figures égales à celles du dividende.

Il en fera de même de tous les divifeurs qui feront d'une unité moindres que les termes de la progreffion décuple, 10, 100, 1000, 10000, 100000, &c, & qui diviferont des nombres plus petits qu'eux-mêmes.

DEMONSTRATION.

I

1°. Tout nombre moindre que 9 ne pouvant pas être divifé par 9, doit être réduit en dixièmes, & vaudra autant de dixaines de dixièmes qu'il aura d'unités. Or chaque dixaine de dixièmes donnera 1 dixième pour le quotient, & il reftera 1 dixième. Donc toutes les dixaines de dixièmes qui compoferont la valeur du dividende, donneront autant de dixièmes au quotient & au refte, que le dividende aura d'unités ; & par conféquent le premier chiffre décimal du quotient, & le premier chiffre décimal reftant, feront les mêmes que celui du dividende qu'on fuppofe moindre que 9,

Le chiffre reftant de la premiere divifion étant égal à celui du dividende, & devant être divifé par 9, fera réduit en centiémes, & donnera par les mêmes raifons autant de centiémes au quotient & au refte, que le dividende aura d'unités; & toûjours de même à l'infini.

I

Par exemple, fi l'on divife 7 par 9; l'on fera du dividende 7, 7 dixaines de dixièmes. Or chaque dixaine de dixièmes étant divifée par 9, donnera 1 dixième pour le quotient, & il reftera 1 dixième. Donc les 7 dixaines de dixièmes étant divifées par 9, donneront 7 dixiémes pour le quotient, & donneront auffi 7 dixièmes pour le refte.

Ces 7 dixiémes reftans de la premiere division ne pouvant pas être divifés par 9; l'on en fera 7 dixaines de centièmes ; & comme chaque dixaine de centièmes, étant divifée par 9, donnera 1 centième pour le quotient & 1 centiéme de refte; les 7 dixaines de centiémes donneront 7 centiémes pour le quotient & 7 centièmes de reste. Il en fera de même des milliémes &c; c'est-à-dire que chaque chiffre décimal du quotient & du refte fera le même que le chiffre du dividende.

2o. Tout nombre moindre que 99, ne pouvant point être divifé par 99, fera réduit en autant de centaines de centièmes qu'il a d'unités. Or chaque centaine de centiémes étant divifée par 99, donnera i centiéme pour le quotient, & il reftera 1 centième. Donc toutes les unités du dividende donneront pour le quotient un nombre de centiémes exprimé par les mêmes chiffres que le dividende, & il reftera le même nombre de centiémes. Il en fera de même des autres chiffres du quotient.

Par exemple, fi l'on veut divifer 42 par 99, on fera 42 centaines de centiémes, du dividende 42 ; & chaque centaine de centiémes divifée par 99, donnant I cen

tiéme pour le quotient & 1 centieme de reste; les 42 centaines de centiémes donneront 42 centiémes pour le quo tient, avec 42 centièmes de refte. Ainfi le nombre des centiémes du quotient, & le nombre des centiémes du refte, feront exprimés par les mêmes chiffres que le dividende 42.

Les 42 centiémes reftans ne pouvant plus être divifés par 99, l'on en fera 42 centaines de centièmes de centiémes, c'est-à-dire 42 centaines de dix-milliémes. Mais chaque centaine de dix-milliémes, étant divifée par 99, donnera 1 dix-milliéme pour le quotient avec 1 dix-milliéme de refte: ainfi 42 centaines de dixmilliémes, donneront 42 dix-millièmes pour le quotient, avec 42 dix-milliémes de refte. Donc le nombre des dix-milliémes du quotient & le nombre des dix-milliémes du refte, feront exprimés par les mêmes chiffres que le dividende 42.

En suivant le mêine raisonnement, l'on fera voir que tous les autres chiffres du quotient feront égaux deux à deux à ceux du dividende qu'on fuppofe moindre que 99. Ainfi en divifant 42 par 99, on aura pour le quotient (0,42 42 42 &c).

Si le nombre à divifer par 99 étoit exprimé par un feul chiffre, par exemple, fi l'on avoit 5 ou os à divifer par 99; on changeroit 5 en 500 centiémes qu'on diviferoit par 99, & l'on auroit pour le quotient (0,05) c'eft à dire 5 centiémes avec (0,05) de refte; puis on transformeroit ce refte en soo dir millièmes qu'on diviferoit par 99, & l'on auroit 5 dix- milliémes ou (0,0005) avec s dix-milliémes ou (0,0005) de refte; enforte que le quotient feroit compofé de périodes décimales femblables, qui toutes auroient les deux caracteres 05 égaux à ceux du dividende; c'est-à-dire que 5 ou 05, étant divifé par 99, donneroit pour le quotient (0,05 05 05 &c).

Enfin toutes les fois qu'on divifera un nombre quelconque, par un nombre plus grand que lui, dont tous les chiffres feront des 9; on aura pour le quotient une fuite infinie de périodes décimales compofées d'autant de caracteres que le divifeur aura de chiffres; & chacune de ces périodes aura les mêmes chiffres fignificatifs que le dividende; enforte que fi le dividende avoit moins de chiffres que le divifeur il fe trouveroit dans chaque période, des places remplies par des zéros écrits à la gauche du chiffre ou des chiffres fignificatifs égaux à ceux du dividende.

47 Et réciproquement, fi l'on a une fuite infinie de périodes décimales compofées des mêmes chiffres; la fomme de cette fuite fera égale au quotient d'une période divifée par un nombre compofé d'autant de 9 qu'il y aura de figures dans la période.

Par exemples, la fuite (0,333 &c) dont chaque période n'a qu'un chiffre 3, eft égale au quotient de la divifion de 3 par 9 ou de 1 par 3.

La fuite (0,23 23 23 &c) dont chaque période (23) a deux chiffres, eft le quotient de la divifion de 23, par 99.

La fuite (0,087 087 087&c) dont chaque période (087) a trois figures, eft le quotient de la division de 087 ou de 87, par 999.

La fuite (0,001 001 001 &c) dont chaque période (001) a trois figures, eft le quotient de la division de 001 ou de 1, par 999: & ainfi des autres.

COROLLAIRE I I.

48 A mesure qu'on avance la virgule d'une place vers la gauche, les chiffres décimaux qu'on avoit

valent dix fois moins qu'ils ne valoient. Par exemple fi l'on a une fuite (0,298 298 &c), & qu'on avance la virgule d'un rang vers la gauche; on aura (0,0298 298 &c) qui vaudra dix fois moins que (0,298 298 &c). Si l'on avance encore la vigule d'un rang vers la gauche; on aura (0,00298 298 &c) qui vaudra dix fois moins que (0,0298 298 &e), ou cent fois moins que (0,298 298 &c): & ainfi les

autres.

Mais la fuite (0,298 298 &c) compofée de périodes égales, dont la premiere commence immédia❤ tement après la virgule, eft le quotient de la divifion de 298 par 999.

Donc cette fuite (0,0298 298 298 &c) qui vaut dix fois moins que la premiere, eft le quotient de la divifion de 298 par 9990; & la fuite (0,00298 289 &c) qui vaut cent fois moins que la premiere eft le quotient de la divifion de 298 par 99900: & ainfi des autres; c'est-à-dire que quand une fuite de périodes décimales ne commence pas précisément après la virgule; elle repréfente le quotient d'une divifion dont le dividende est égal à une période, & dont le divifeur eft compofé, non feulement d'autant de 9 que la période a de chiffres, mais encore d'autant de zéros qu'il y a de places entre la virgule & le premier chiffre de la premiere période.

Comme nous traiteront plus généralement la même matiere dans le Chapitre III du VIII Livre, & que nous ne pouvons pas nous difpenfer de parler encore des parties décimales dans le Livre des fractions: nous n'en dirons pas davantage pour le préfent; & nous réferverons la réduction des fuites infinies de périodes décimales en fractions finies, pour en traiter lorfque nous expliquerons les opérations de l'Arithmétique fur les fractions.