minateurs auxquels ces divifeurs feront communš; Mais on doit remarquer que s'il y avoit des divifeurs compofés, il faudroit leur préférer, pour divifer, leurs facteurs communs plus fimples, dans le cas où ils feroient communs à un plus grand nombre de dénominateurs. En voici des exemples.

7

84 56 48

2 14 2
84 84

Si l'on a ces quatre fractions,,, réduites à leurs plus fimples termes, parmi lesquelles il y en trois dont les dénominateurs 2, 4, 6, font divifibles par 2: lorfque toutes ces fractions feront réduites à la même dénomination, & feront devenues 198,336, 336, 336; on pourra divifer le numérateur de chacune d'elles & le dénominateur commun, deux fois de fuite par 2, ce qui les réduira à celles-ci, 4, 4, 14. Si l'on propofe ces quatre fractions, que 4' 8' iz I l'on peut mettre fous cette forme, 2x2' 2X39 2×2×3: quoique les dénominateurs 2×2, 2×2×3 de deux d'entr'elles foient divifibles par le divifeur compofé 2x2; on ne fera point ufage de ce divifeur compofé; parce que le divifeur fimple 2 eft commun à un plus grand nombre de dénominateurs, que le composé 2 x 2: & l'on remarquera que

I

I I

I

1o. Les quatre dénominateurs 2, 2×2, 2×3, 2×2×3 peuvent être divifés par 2, & réduits à 1, 2, 3, 2×3.

2o. Ces quatre termes réduits par la division, en contiennent encore deux favoir 2 & 2×3 qui peuvent encore être divifés par 2; enforte que ces quatre termes font réductibles à 1, 1, 3, 3.

3o. Enfin ces quatre nouveaux termes, en renferment encore deux, favoir 3 & 3 qui font divisibles par 3.

Ainfi lorsque les quatre fractions propofées

I I I

feront réduites à la même dénomination, & feront devenues 288 144

96 48

5769 5769 5769 576 on les réduira à leurs moindres termes & on leur confervera un dénomi

nateur commun, en divifant leurs numérateurs & dénominateurs, trois fois de fuite par 2, ou une fois feulement par 8, enfuite une fois par 2,

3

2

par 2, & enfin une fois par 3, ce qui réduirà ces quatre fractions à celles-ci que l'on ne peut plus réduire à de moindres termes, en leur confervant un dénominateur commun.

12 12 12

Les fractions qu'on a propofé de réduire à la même dénomination, étoient toutes réduites à leurs moindres termes. Lorfqu'on en propofera qui ne feront pas réduites à leurs moindres termes, il fera toûjours à propos de les y avant de leur donner un même dénominateur.

62

PROBLÉM E.

réduire

Trouver les entiers qui font dans les fractions. Les opérations qu'on fera fur les fractions, en feront fouvent réfulter d'autres fractions dont les numérateurs feront plus grands que leurs dénominateurs. Et comme une fraction eft égale à l'unité entiére, lorsque ses deux termes font égaux; les fractions contiendront autant d'unités entiéres, que les numérateurs contiendront de fois leurs dénominateurs.

Donc pour trouver le nombre des unités entiéres contenues dans une fraction; il faudra divifer véritablement le numérateur par le dénominateur, & le quotient de cette divifion fera le nombre des unités entiéres contenues dans la fraction. A l'égard du refte de la divifion s'il y en a, on en fera le numérateur d'une fraction qui aura le diviseur pour dénominateur.

Par exemple étant une fraction proposée; l'on divifera le numérateur 18 par le dénominateur 4, & l'on aura pour quotient 4 unités entiéres avec un refte 2; & ce refte étant divifé par le dénominateur 4, donnera la fraction qu'on réduira à; enforte que la fraction fera convertie en 4

18

unités &.

CHAPITRE II.

De l'Addition & de la Soustraction des Fractions.

No

Ous renfermons dans ce Chapitre l'addition & la foustraction des fractions; parce que ces deuxopérations demandent les mêmes préparations.

On ne peut ajoûter ensemble, ou fouftraire véritablement les unes des autres, que des quantités qui font compofées d'unités de la même espéce. Ainfi les frac tions ne peuvent être ajoûtées ensemble ou fouftraites les unes des autres, que quand leurs unités fractionnai res font les mêmes; & pour cela il faut qu'elles ayent le même dénominateur.

PROBLÉM E. 63 Ajoûter enfemble plufieurs Fractions.

1o. Si les fractions propofées ont un même dénominateur; on aura leur fomme, en faisant une nouvelle fraction de même dénominateur, qui aura pour numé rateur, la fomme de leurs numérateurs.

6

Par exemple, fi l'on veut ajoûter ensemble les fractions, qui ont le même dénominateur 7} on les regardera comme des nombres concrets, dont les unités propres font des feptièmes; & l'on dira 3 feptièmes & 4 Jeptiémes font 7 feptièmes qui avec 6 feptiémes font 13 feptièmes que l'on écrira ainfi, : c'eftà-dire qu'on ajoûtera enfemble les trois numérateurs 3, 4, 6, & que leur fomme 13 fera prife pour le numérateur d'une fraction à laquelle ou donnera le dénominateur 7 commun à toutes les fractions ajoûtées; & l'on aura la fraction pour la fomme demandée.

IT DE LA SOUSTRACTION DES FRACTIONS. 135 2o. Si les fractions qu'il faut ajoûter ensemble n'ont le même dénominateur: on les réduira à la même dénomination (No. 59 & 60.); puis on additionnera ces nouvelles fractions, comme il vient d'être dit.

pas

168

Par exemple fi l'on propofe d'additionner les fractions,,; on les convertira en cellesci 115, 110, 110, 110, qui ont un même dénominateur. Enfuite on ajoûtera ensemble leurs numérateurs 105, 140, 168, 180; & ayant appliqué à leur fomme 593 le dénominateur 210, on aura une feule fraction 593

168 180

210

égale à la fomme des fractions 105, 140 210, 210, 210, 210, qui font égales aux quatre propofées.

De l'addition de plufieurs fractions, il refulte fouvent une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur. Une telle fraction étant plus grande que l'unité principale, doit être réduite (N°. 62.) aux entiers qu'elle contient, & à une fraction qu'elle peut contenir de plus.

Par exemple nous venons de trouver que la fomme des trois fractions,,, étoit dont le numérateur 13 contient le dénominateur 7 une fois avec un refte 6; ainfi eette fraction peut être partagée en ces deux autres & 72 & vaut par conféquent 1 &.

PROBLÉM E.

64 Soustraire
Soustraire une fraction d'une autre fraction.

1o. Si les fractions ont un même dénominateur, on les regardera comme des nombres concrets dont les unités propres font égales; & pour retrancher l'une de l'autre, il n'y aura qu'à retrancher le nombre: des unités propres de l'une, du nombre des unités propres de l'autre.

Or les numérateurs des fractions expriment les nombres des unités propres qu'elles contiennent.. Donc on aura le refte de la foustraction, en retran chant le numérateur de l'une du numérateur de l'aus

tre, & en appliquant au refte, le dénominateur commun aux deux fractions; parce que les unités reftantes de la fouftraction doivent être de même espéce que celles du nombre dont on a fouftrait.

Par exemple fi l'on veut retrancher de ; on re429 tranchera 2 de 8, & il reftera 6 qu'on prendra pour un numérateur auquel on appliquera le même dénominateur 9 ; & l'on aura, pour le refte de la souftraction, la fraction qui peut être réduite à la fraction.

2o. Si les fractions propofées ont différens dénominateurs; on les réduira à la même dénomination. Enfuite on fouftraira l'une de l'autre, comme il a été dit dans l'article premier.

Par exemple fi l'on veut fouftraire de ; on réduira d'abord ces deux fractions à la même dénomination, & elles deviendront &. Alors fouftrayant le numérateur 14 du numérateur 18, il restera 4; & appliquant à ce refte,le dénominateur 21; l'on aura pour le refte de la foustraction.

21

De la Multiplication & de la Divifion des Fractions.

L

Es multiplications & divisions des fractions par des fractions, ne font pas de fimples multiplications ni de fimples divisions: ce font des opérations composées de la multiplication & de la divifion des fractions par des nombres entiers, comme on le verra dans la fuite de ce Chapitre. Ainfi avant de traiter de la multiplication & de la divifion des fractions par des fractions; nous devons expliquer la multiplication & la division des fractions, par des nombres entiers.