PROBLEME.

65 Multiplier une fraction par un nombre entier.

Multiplier une fraction par un nombre entier, par exemple par 2, ou par 3, ou par 4, &c, c'est la répéter 2 fois, ou 3 fois, ou 4 fois, &c, ou en général autant de fois que le multiplicateur contient l'unité: ainfi c'est faire une fraction 2 fois ou 3 fois ou 4 fois &c auffi grande que la fraction propofée. Or on peut faire cette opération en deux maniéres; favoir en opérant fur le numérateur feulement, ou en opérant fur le dénominateur feulement.

1o. Si l'on veut opérer fur le numérateur seulement; il faudra multiplier le numérateur de la frac tion propofée, par le nombre entier qui doit fervir de multiplicateur; & appliquant à ce produit le dénominateur de la fraction propofée, on aura une nouvelle fraction qui fera le produit demandé : ce que l'on comprendra aisément par l'exemple suivant.

2

Pour multiplier la fraction par 4; on regar dera le multiplicande comme un nombre concret (2 neuvièmes) qu'on doit répéter 4 fois; ainfi l'on dira 4 fois 2 neuvièmes font 8 neuvièmes, que l'on écrira ainfi c'est-à-dire que l'on multipliera le numérateur 2 par 4, & que l'on aura le nombre 8 auquel on appliquera le même dénominateur 9; ce qui donnera pour le produit demandé.

:

2o. Si l'on ne veut opérer que fur le dénominateur; on divifera ce dénominateur par le multiplicateur propofé; & prenant le quotient pour le dénominateur d'une nouvelle fraction à laquelle on donnera le numérateur de la fraction qui doit être multipliée; la nouvelle fraction qui réfultera de cette opération, fera encore le produit demandé, comme on va le prouver.

par 2; on

Par exemple fi l'on doit multiplier divifera le dénominateur 12 par 2, & l'on aura une Bouvelle fraction pour le produit de

par 2.

multiplié

Car l'unité principale étant divifée en deux fois plus de parties dans la fraction que dans la fraction, les unités fractionnaires de la fraction feront doubles de celles de la fraction. Et comme ces fractions ont le même nombre de parties, celle & dont les parties font doubles, fera double de l'autre —.

Comme il est toujours poffible de multiplier un nombre par un autre, & qu'on ne peut pas toûjours diviser un nombre par un autre fans refte; il fera toûjours poffible de faire la multiplication d'une fraction par un nombre entier, en multipliant fon numérateur par ce nombre entier ; mais on ne pourra pas toûjours multiplier une fraction par un nombre entier, en divifant fon dénominateur par ce nombre entier,

PROBLÉM E.

66 Divifer une fraction par un nombre entier.

Diviser une fraction par un nombre entier, par exemple par 2, ou par 3, ou par 4, &c; c'eft faire une nouvelle fraction qui foit 2 fois ou 3 fois ou 4 fois &c plus petite que la fraction qu'on veut divifer. Or on peut faire cette opération en deux maniéres différentes; en opérant fur le numérateur feulement, ou en opérant fur le feul dénominateur.

10. Si l'on veut opérer fur le numérateur feulement : il faudra divifer le numérateur de la fraction proposée, par le nombre entier qui doit fervir de divifeur; & donnant au quotient le dénominateur de la fraction propofée, l'on aura une nouvelle fraction qui fera le quotient demandé. Un exemple fuffira démonpour trer cette opération.

Suppofons qu'on ait la fraction à divifer par 4, on regardera le dividende, comme un nombre concret qui représente 8 neuvièmes; & pour le divifer par 4 on dira le quart de 8 neuvièmes, eft évidemment 2 neuviémes que l'on écrit ainfi. Donc la fraction que l'on trouve, en divifant par 4 le numérateur de, eft évidemment le quotient de la fraction divifée par

le nombre entier 4.

2o. Si l'on ne veut opérer que fur le feul dénomi nateur; on multipliera le dénominateur de la fraction par le divifeur propofé: & prenant le produit pour le dénominateur d'une nouvelle fraction à laquelle on donnera le numérateur de la fraction proposée; la nouvelle fraction qu'on formera fera encore le quotient demandé.

Par exemple fi l'on propofe de divifer la fraction par 4; on ne touchera point à fon numérateur 6, & l'on multipliera feulement fon dénominateur 7 par 4; ce qui donnera la fraction, pour le quotient de la fraction divifée par 4,

Car l'unité principale étant divifée en quatre fois plus de parties dans la fraction que dans la fraction; les unités fractionnaires de la fraction ne feront que des quatrièmes parties de celles de la fraction. Et comme ces deux fractions ont le même nombre de parties; celle dont les parties font quatre fois plus petites, fera contenue quatre fois dans l'autre, c'est-à-dire autant de fois qu'il y a d'unités dans le divifeur

4.

28

Comme on peut toûjours multiplier le dénominateur d'une fraction par un nombre entier, & que fouvent il n'eft pas poffible de divifer exactement fon numérateur fans refte: il eft clair qu'on pourra toûjours divifer une fraction en multipliant fon dénominateur, & qu'il ne fera pas toûjours poffible de la divifer en divifant fon numérateur.

PROBLEME.

67 Multiplier par une fraction.

Multiplier par une fraction, c'eft multiplier par fon numérateur, & divifer enfuite par fon dénominateur.

Pour le démontrer, fuppofons qu'on ait à multiplier une grandeur quelconque par la fraction. Si au lieu de multiplier par la fraction, on multiplie par fon numérateur 2; l'on aura un produit triple de celui qu'on doit avoir, parce qu'on aura multiplié par un nombre triple de celui par lequel on devoit multiplier. Ainfi il faudra prendre le tiers de ce produit, c'est-à-dire le divifer par le dénominateur 3, pour le réduire à la juste valeur qu'il doit avoir.

Donc multiplier par une fraction, c'est multiplier par fon numérateur, & divifer enfuite par fon déno

minateur.

COROLLAIRE.

68 Donc la multiplication par une fraction dont le

numérateur eft l'unité, eft une véritable divifion par le dénominateur de cette fraction. Par exemple, les multiplications par,, &c, font de véritables divifions, par les dénominateurs 2, 3, 4 &c de ces fractions. Car pour multiplier parou par ou par, il faut (No 67.) multiplier d'abord par l'unité, ce qui ne change rien à la quantité multipliée ; & il faut diviser enfuite par 2 ou par 3 ou par 4.

وة

PROBLEME.

69 Multiplier une fraction par une fraction.

Ce problême peut être réfolu en quatre maniéres dont les trois premiéres peuvent avoir lieu en certains cas, & dont la derniére eft toûjours poffible.

1o. On peut multiplier une fraction par une frac tion, en opérant feulement fur le numérateur de la fraction multiplicande, & par conféquent fans rien changer au dénominateur de cette fraction.

2o. On peut multiplier une fraction par une frac tion, en opérant feulement fur le dénominateur de la premiére, ce qui ne change rien au numérateur de cette fraction.

3o. On peut multiplier une fraction par une fraction, en opérant fur les deux termes de la fraction multiplicande, par voie de divifion.

4o. On peut multiplier une fraction par une fraction, en opérant fur les deux termes de la premiére, par voie de multiplication.

Ces quatre maniéres de multiplier une fraction par une fraction, vont être expliquées & démontrées dans les quatre articles fuivans.

I.

Multiplier une fraction par une fraction, en opérans feulement fur le numérateur de la fraction que l'on confidére comme multiplicande.

On multipliera le numérateur de la fraction multiplicande par le numérateur de la fraction multiplicateur; & ayant divifé ce produit par le dénominateur de la fraction multiplicateur, on donnera au quotient résultant, le dénominateur du multiplicande; & l'on aura une fraction égale au produit demandé, ce que l'on peut aifément expliquer & démontrer dans un exemple.

Suppofons qu'on ait à multiplier par,

La fraction étant confidérée comme un nombre concret 9 dixièmes, on la multipliera d'abord par le nu mérateur 2 de la fraction multiplicateur, en difant 2 fois y dixiémes font 18 dixièmes ou 18. Mais ayant multiplié par 2, on a multiplié par un nombre 3 fois

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