trop grand; puifque l'on ne devoit multiplier que par qui eft le tiers de 2. Donc le produit 18 dixiemes qu'on a trouvé, est aussi 3 fois trop grand ; ainsi il en faudra prendre le tiers, ou le diviser par 3; & l'on aura 6 dixièmes ou pour le véritable produit de multiplié par 7.

10

Si l'on examine les opérations qu'on a faites pour trouver le produit résultant de la multiplitication de par; on remarquera que le dénominateur du produit eft le même que celui du multiplicande; & que pour avoir le numérateur 6 de ce produit, l'on a multiplié le numérateur de la fraction multiplicande par le numérateur 2 de la fraction multiplicateur, ce qui a produit 18; & qu'on a divifé ce produit 18 par le dénominateur de la même fraction multiplicateur, ce qui a donné 6 pour le numérateur du produit. C. Q. F. D.

II.

Multiplier une fraction par une fraction en opérant feulement fur le dénominateur de la fraction que l'on confidére comme multiplicande.

On divifera le dénominateur de la fraction confidérée comme multiplicande, par le numérateur de la fraction confidérée comme multiplicateur; puis on multipliera le quotient par le dénominateur du multiplicateur; & prenant le produit pour le dénominateur d'une fraction à laquelle on donnera le numérateur du multiplicande; cette fraction fera le produit des deux fractions qu'on avoit à multiplier l'une par l'autre ; comme on va le prouver.

Suppofons qu'ont ait à multiplier la fraction par celle: en divifant le dénominateur 10 de la premiére par le numérateur 2 de la feconde, la premiére fraction fera multipliée par 2; (N°. 65.); ainsi la

fraction réfultante fera triple de celle qu'on de mande, puisqu'on aura multiplié par 2 qui est triple de la fraction par laquelle on devoit multiplier; il faudra donc divifer ce produit par 3 qui eft le dénominateur de la fraction. Or en multipliant par 3 le dénominateur du produit, ce produit fera divifé par 3 (No. 66.). Donc la fraction résultante fera le véritable produit de la fraction multiplié par. C. Q. F.D.

III.

Multiplier une fraction par une fraction, en opérant par voie de divifion, fur les deux termes de la fraction que l'on confidére comme multiplicande.

On divifera le dénominateur de la premiére par le numérateur de la 2. & le numérateur de la premiére par le dénominateur de la feconde; & de ces deux opérations, il résultera une fraction égale au produit qu'on demande.

Pour le prouver, fuppofons qu'on ait à multiplier par: on divifera d'abord le dénominateur 10 de la ere, par le numérateur 2 de la 2o, & par cette opération la fraction fera multipliée par 2 (N°.65.). Mais le produit fera triple de celui qu'on demande ; puifque le nombre 2 par lequel on aura multiplié, eft triple de celui par lequel on devoit multiplier. Ce produit que l'on regardera comme un nombre concret 9 cinquièmes doit donc être divifé par 3; ainfi l'on dira le tiers de 9 cinquièmes et 3 cinquiémes ou, & cette fraction fera le produit demandé. Or il eft clair que par les opérations qu'on a faites pour avoir le produit, on a divifé le dénominateur de la fraction multiplicande par le numérateur de la fraction multiplicateur, & le numérateur de la ere , par le dénominateur de la 2°. C. Q.F.D.

IV.

Multiplier une fraction par une fraction, en opérant par voie de multiplication, fur les deux termes de la fraction confidérée comme multiplicande.

On multipliera le numérateur de la premiére par celui de la feconde, & le dénominateur de la premiére par celui de la feconde : & la fraction résultante qui aura pour numérateur, le produit des deux numérateurs, & pour dénominateur le produit des deux dénominateurs, fera le produit demandé. En voici la preuve.

Suppofons qu'on ait à multiplier par : fi l'on confidére la fraction multiplicande comme un nombre concret 9 dixièmes, & qu'on la multiplie d'abord par le numérateur 2 de la fraction multiplicateur, en difant 2 fois 9 dixièmes font 18 dixièmes ou produit fera triple de celui qu'on demande, parce que le nombre 2 par lequel on aura multiplié, eft triple de la fraction par laquelle on devoit multiplier.

18

10

; ce

Il faudra donc divifer le produit 13 par le dénominateur 3 du multiplicateur, pour le réduire à fa jufte valeur: & c'eft ce qu'on fera (No. 66.), en multipliant le dénominateur 10 par 3, ce qui donnera la fraction pour le produit demandé. Or il eft aifé de remarquer dans les opérations qu'on a faites, que le numérateur 18 du produit, eft compofé de la multiplication des numérateurs des deux fractions propofées; & que le dénominateur de ce produit, eft le résultat de la multiplication des dénominateurs des mêmes fractions. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

70 1°. Puifque (art. iv. de la multiplication d'une action par une fraction), il résulte pour le produit une fraction dont le numérateur eft le produit des numérateurs

numérateurs des deux fractions qu'on multiplie enfemble, & dont le dénominateur eft le produit des deux dénominateurs des mêmes fractions; il eft clair qu'on pourra prendre pour multiplicande celle des deux fractions qu'on voudra; car les deux numérateurs multipliés enfemble, & les deux dénominateurs multipliés l'un par l'autre, comme on voudra, don neront toûjours les mêmes produits.

2o. Un nombre entier pouvant être confideré comme une fraction dont il est le numérateur, & dont le dénominateur eft l'unité : lorfqu'on aura un entier à multiplier par une fraction, on pourra rapporter cette opération à la multiplication d'une fraction par une fraction. Par exemple fi l'on doit multiplier 3 par; on rapportera cette multiplication à celle de par & l'on aura pour le produit ou 2 & }.

3o. Donc la multiplication d'un entier par une fraction, par exemple de 3 par, est la même chofe que la multiplication de la fraction par le nombre entier 3. Car 3 x ou est égal à × ou x 3.

71

PROBLEME.

Divifer par une fraction.

Pour divifer par une fraction, il faut divifer par fon numérateur, & multiplier enfuite par fon déno

minateur.

Pour le démontrer fuppofons qu'on ait une quantité quelconque à diviser par la fraction, & que l'on divife d'abord par le numérateur 3 de cette fraction: ce diviseur étant 4 fois trop grand, puisqu'on ne doit divifer que par le quart de 3, donnera un quotient 4 fois trop petit; ainfi il faudra multiplier ce quotient par le dénominateur 4 de la même fraction, pour qu'il devienne tel qu'il doit être. Donc Arithmétique.

K

pour divifer par une fraction, il faut divifer par fon numérateur, & multiplier enfuite par son dénominateur. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

72 1o. Donc la divifion par une fraction, par exemple par, se réduit à une multiplication par la fraction inverse

.

3

Car on vient de voir que pour diviser par la fraction, il faut divifer par 3 & multiplier enfuite par 4 or pour multiplier par la fraction inverse, il faut faire précisément les mêmes opérations; c'eftà-dire que (No. 67 il faut multiplier par 4 & divifer par 3.

2o. Il fuit delà que la divifion par une fraction dont le numérateur eft l'unité, eft une véritable multiplication par le dénominateur de cette fraction. Car pour divifer par les fractions,, &c, il faut multiplier par les inverfes,, &c, c'est-à-dire + par les nombres entiers 2, 3, 4, &c.

PROBLÉM E.

73 Divifer une fraction par une fraction.

PREMIERE SOLUTION.

20

Puifque (N°. 72.) la divifion par une fraction fe réduit à une multiplication par la fraction inverse; lorfque l'on aura une fraction à divifer par une fraction; par exemple 2 à divifer par, & que l'on aura bien diftingué la fraction dividende, de la fraction diviseur; on renverfera les termes de cette derniére, pour avoir fon inverfe : enfuite on multipliera la fraction dividende, par celle inverfe du divifeur, en opérant fuivant quelqu'une des quatre méthodes expliquées au (No. 69.) & le produit