On aura donc tous les arrangemens que pourront recevoir tant de lettres qu'on voudra, en écrivant tous les nombres de fuite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1 1,&c. & multipliant enfemble autant de ces nombres de fuite, qu'on voudra avoir de lettres à changer d'ordre. Par exemple pour 3 lettres, on prendra le produit 1×2×3; pour 4 lettres, le produit 1× 2 × 3 × 4; pour 8 lettres, le produit 1×2×3×4×5×6×7×8: & ainfi des autres.

Les différens arrangemens poffibles que peuvent recevoir plufieurs chofes, ne font pas toujours utiles; & les conditions d'une queftion peuvent en faire rejetter un grand nombre. Par exemple fi l'on propofoit de trouver en combien de manieres on peut varier l'ordre des mots de ce Vers latin compofé à la louange de la Vierge par le R. P. Bernard Bauhufe Jéfuite de Louvain,

Tot tibi funt dotes, Virgo, quot fidera cœlo.·

de forte que de tous les changemens, il résulte todjours un vers hexamétre, dont le cinquiéme pied doit être un dactyle & le fixiéme un spondée ; on ne pourroit pas faire ufage de la dixième partie des 403 20 40320 changemens d'ordre que les huit mots de ce vers peuvent recevoir.

Henry Dupuy ou Erycius Putéanus, en faifant l'énumération des changemens d'ordre de ce vers, compte autant de variations, que d'étoiles au ciel, dont il fixe le nombre à 1022 feulement.

Le P Preftet dans la premiere édition de fes élémens de mathématiques, compte 2196 variations du même vers ; & dans la feconde édition, il en compte 3276. Wallis en compte 3096; & M. Jacques Bernoulli en compte 3312 dans leíquelles la mesure du vers eft obfervée.

NOUS

Ous avons déjà dit que les combinaisons confiftent à prendre une à une, deux à deux, trois à trois, quatre à quatre &c, toutes les grandeurs qui font données à combiner, avec toutes les conditions dont un problême est susceptible.

1o. On peut proposer, par exemple, de combiner les cinq voyelles a, e, i, o, u, & de trouver combien de mots d'une lettre, de deux lettres &c, on peut faire avec elles; fans imposer d'autre condition que celle de ne point faire des mots de plus de cinq lettres. On peut propofer de même de trouver tous les mots poffibles qu'on peut faire avec toutes les lettres de l'alphabet, à condition de ne point faire de mots qui ayent un plus grand nombre de lettres qu'il n'y en a dans l'alphabet: enforte qu'on pourra faire des mots qui contiendront la même lettre une fois, deux fois, trois fois, & en général autant de fois qu'on aura de lettres à combiner ; & des mots qui feront campofés des mê mes lettres différemment arrangées.

2o. On pourroit propofer de faire des combinaifons d'un certain nombre de lettres, en défendant feulement d'employer plufieurs fois la même lettre dans le même mot.

3o. On peut propofer de combiner différentes. chofes, fans pouvoir prendre la même chose plufieurs fois en même temps, & fans avoir égard aux

changemens d'ordre que ces chofes prifes deux ă deux, ou trois à trois &c, peuvent recevoir. Par exemple on peut propofer de combiner de toutes les façons poffibles dix ouvriers, pour les faire travailler un à un, deux à deux, trois à trois &c. Dans ce cas, le nombre des combinaisons feroit très-différent de celui des mots qu'on pourroit faire avec dix lettres, parce que le même ouvrier ne peut pas être combiné avec lui-même comme la même lettre, & que deux ou trois &c ouvriers différemment arrangés ne pafferont pas dans le cas préfent pour différentes com binaifons.

On pourroit ajoûter d'autres conditions, qui, au lieu de diminuer le nombre des combinaisons, l'augmenteroient; par exemple on pourroit permettre de faire des mots de 6 lettres, de 7 lettres &c, en employant les cinq voyelles feulement. Mais nous ne parlerons point de ces différentes combinaisons, où l'on peut employer plus de lettres qu'il n'y a d'espéces de caractéres à combiner.

I.

138 Si l'on propofoit de faire tous les mots poffibles qui peuvent réfulter des 25 lettres de l'alphabet a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z, prifes une à une, deux à deux, trois à trois &c, en exigeant feulement qu'il n'y ait point de mot de plus de 25 lettres; on trouveroit un fi grand nombre de combinaisons à faire, que perfonne ne pourroit fe flatter de les écrire toutes. Mais fans exécuter ces combinaisons, on peut aisément en trouver le nombre, en examinant la loi fuivant laquelle le nombre des combinaifons augmente, à

mefure qu'on emploie un plus grand nombre de lettres.

1o. En ne prenant qu'une lettre pour chaque mot, on compofera 25 mots, c'eft-à-dire autant de mots qu'on aura de lettres. Le nombre de ces premieres combinaisons fe réduira donc à 25.

2o. Pour compofer tous les mots de deux lettres, on remarquera qu'on peut mettre chaque lettre avec chacune de celles qui compofent les 25 premieres combinaisons.

.

Premierement on peut mettre la lettre a à la gauche de chacune des 25 lettres; ce qui donnera ces 25 combinaisons de deux lettres aa, ab, ac, ad, ae, af, ag, ah, ai, uj, ak, al, am, an, ao, ap, aq, ar, as, at, au, av, ax, ay, az, dont la premiere lettre fera a.

Secondement on peut mettre la lettre b à la gauche de chacune des 25 lettres; ce qui donnera encore ces 25 combinaisons de deux lettres ba, bb, bc, bd, be, bf, bg, bh, bi, bj, bk, bl, bm, bn, bo, bp, bq, br, bs, bt, bu, bv, bx, by, bq, dont la premiere lettre fera b.

Enfin les 25 lettres pouvant être mifes fucceffivement à la gauche de chacune des lettres de l'alphabet; il est évident qu'on aura 25 fois 25 ou 625 mots. de deux lettres feulement.

2o. En combinant de la même maniere chacune des 25 lettres, avec les 625 combinaifons de deux lettres; c'est-à-dire en mettant d'abord a, puis b, enfuite c, &c à la gauche de ces 625 combinaisons; chaque troifiéme lettre donnera 625 mots différens ; & les 25 lettres mifes fucceffivement à la gauche des 625 mots de deux lettres, donneront en tout 25 fois 625 mots de trois lettres, ou 15625 combinaifons des 25 lettres prifes trois à trois.

Pour peu que l'on falle attention à la méthodo
Ff iiij

qu'on a fuivie pour trouver les combinaisons des 25 lettres prifes d'abord une à une, puis deux à deux, enfuite trois à trois; l'on reconnoîtra aifément que tous les différens nombres de combinaisons des 25 lettres, prifes une à une, deux à deux, trois à trois, quatre à quatre &c, font les termes de cette progreffion géométrique croiffante dont le premier terme eft 25, & dont la raison eft auffi 25.

25:25×25:25×25×25:25×25×25×25:&c.

Il fuit évidemment de ce qu'on vient de dire, que fi l'on combinoit feulement les cinq voyelles a, e, i, o, u, une à une, puis deux à deux, enfuite trois à trois &c; les différens nombres de combinaisons feroient exprimés par les termes de la progreffion géométrique croiffante 5:5×5: 5×5×5:5×5×5×5:5×5×5×5×5. qui a 5 pour premier terme & pour raison.

En un mot, il eft aifé de voir que les différens nombres de combinaisons d'un nombre quelconque de lettres, prifes d'abord une à une, puis deux à deux, enfuite trois à trois &c, font répréfentés par les termes correfpondans d'une progreffion géométrique, dont le premier terme eft égal au nombre des lettres propo fées, & dont la raison est égale au même nombre,

II.

239 Dans les combinaisons dont on vient de parler, font compris tous les mots qu'on peut faire en répé tant plufieurs fois la même lettre, & tous les mots qui contiennent précisément les mêmes lettres différemment arrangées

Si l'on vouloit exclurre du nombre des combinai fons des 25 lettres, tous les mot où la mème lettre