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est répétée, comme il faudroit faire Gi les 25 lettres
a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, V, it, J,{e
représentoient 25 personnes qui dussent être à une
même table dans tous les ordres possibles; premiere-
ment une à une, puis deux à deux, ensuite trois à
trois &c; les différens' nombres de combinaisons des
25 lettres prises une à une, deux à deux, trois à
trois &c, se réduiroient aux termes correspondans de
cette suite 25;25*24;25x24x23; 25x24x23x22;
25x24x23x22x21 &c, dont le premier terme 25 eft
égal au nombre total des lettres qu'il faut combiner,
& dont chaque terme est composé du précédent mul-
tiplié par un nouveau fa&eur décroissant continuel-
lement d'une unité.
Car 1o. puisqu'ou n'a que 25

lettres

pour compo ser des mots, il est évident qu'on n'aura que 25 mots d'une seule lettre.

2°. Pour composer tous les mots de deux lettres fans en répéter aucune deux fois dans le même mot ; on remarquera que chacune des 25 lettres ne peut être combinée qu'avec les 24 autres, & que chaque lettre qu'on voudra écrire la premiere ne donnera par conséquent que 24 mots. La lettre a, par exemple, écrite la premiere & combinée successivement avec les 24 autres , ne donnera que ces 24 mots ab, ac, ad, ae, af, ag, ah, ai, aj, ak, al, am, an, ao, ap, aq, ar, af, at, au, av, ax, ay, az,. La lettre b, écrite la premiere & combinée succeslivement avec les 24 autres lettres, ne donnera que ces 24 mots ba, bc, bd, be, bf&c: & ainfi des autres; en soite que

les
25

lettres donneront en tout 25 fois 24 mots de deux lettres, c'està-dire un nombre de mots exprimé par 25*24 qui est le second terme de la suite proposée.

3°. En composant les mois de trois lettres , fans en répéter aucune deux fois dans le même mot ; of observera que tous les mots de deux lettres, ne poure ront pas être combinés avec les deux lettres qu'ils contiennent déjà, mais seulement avec les 23 autres. Par exemple les mots ab, ba, composés des deux lettres a, b, ne pourront plus être combinés avec ces deux lettres, mais seulement avec les 23 autres c,d,e,fig, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r,/, t, u, 4, x,y, {. Les deux mots be, cb, composés des deux lettres b&c, ne pourront plus être combinés avec ces deux lettres, mais seulement avec les 23 autres a, d, c, e, f, g,&c:& ainsi des autres; en sorte que chaque mot de deux lettres ne pourra plus être combiné qu'avec un nombre de lettres de deux unités moindre

que

le nombre total 25 des lettres données. Or chaque mot de deux lettres écrit le premier, & combiné successivement avec les 23 autres lettres donnant vingt-trois mots de trois lettres; il est clair

que

le nombre 25x24 des mots de deux lettres combinés succeslivement avec les 23 autres lettres, donnera un nombre de mots de trois lettres exprimé par 25x24x23 qui est le troiféme terme de la suite proposée.

4o. Chacun des mots de trois tettres qu'on viene de trouver ne pouvant plus être combiné avec aucune des trois lettres qu'il contient, mais seulement avec les 22 autres ; on aura 22 fois autant de mots. de quatre lettres , qu'il y a de mots de trois lettres. AinG le nombre des mots de quatre lettres sera repréfenté par 25x24x23x22. qui est le quatrieme terme de la suite.

Les mots déjà composés de plusieurs, lettres no peuvent plus être combinés qu'avec les lettres qu'ils. ne contiennent point, c'est-à-dire avec un nombre de lettres égal à la différence qu'il y a entre le noms

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bre total des lettres données, & le nombre des lettres des mots déja composés. Or le nombre des let, tres avec lesquels les mors faits peuvent être combinés , diminuant continuellement d'une unité, à mesure que le nombre des lettres des mots précédemment faits, augmente d'une unité ; il est évident que la suite des nombres de mots qu'on peut faire avec un nombre de lettres données , prises d'abord une à une , puis deux à deux, ensuite trois à trois &c, fans répéter la même lettre deux fois dans le même mot, doit commencer par un terme égal au nombre total des lettres données ; & que chacun des autres termes doit être composé de celui qui le précéde , multiplié par un nouveau facteur continuellement décroillant d'une unité.

Les nombres de mots qu'on peut faire avec 25 lettres prises d'abord une à une, puis deux à deux, ensuite trois à trois &c, sans qu'aucune soit répétée deux fois dans le même mot, sont donc représentés par les termes correspondans de cette suite 25; 25*24 ; 25X24X23; 25X24X23X22; 25X24X2 3X22X21 ;..

25*24X23X......X1. Les différens nombres de mots qu'on peut faire avec les cinq voyelles a, e,i,,u, en les prenant une à une, puis deux à deux , ensuite trois à trois , sans répéter deux fois la même voyelle dans le même mot, sont donc exprimés par les termes correspondans de cette fuite 5;5*4; SX4x3; 5*4*3*2; 5*4*3*2X1.

On voit bien que la suite dont les termes expriment les différens nombres de mots d'une lectre, de deux lettres, de trois lettres &c, qu'on peut faire avec 25 lettres, se termine nécessairement au vingt-cinquiémc terme ; que celle dont les termes représentent les différens nombres de mots d'une lettre, de deux lettres,

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le dividende ou le diviseur contient des parties décimales

ou qu'ils en con iennent tous les deux.

88

Remarque sur le problème précédent.

Problêine. Diviser un nombre qui a des parties décimales, par
un diviseur qui n'en a point.

ilid

Exemple.

91

Problême. Diviser un nombre quelconque par un diviseur qui

n'a point de décimales, & pousser la division jusqu'à ce que
le quotient ne différe pas du vrai quotient qu'on doit tror-

ver , d'une unité décimale de cel ordre qu'on voudra. 9%

Exemple où la division est pouffée jusqu'aux milliémes. ibid

Problême. Diviser un nombre quelconque par un diviseur plus

grand que le dividende, & pouffer la division jusqu'à ce

que le quotient ne différe pas du quotient exact , d'une

unité décimalc de tel ordre qu'on voudra.

94

Exemple I. où la divifion est pouffée julqu'aux cent-milliémes. ilit

Exemple II. où la division cit pouffée jusqu'aux millioniénes. 95

Avertisement. Différentes méthodes de faire la division,

De la méthode Italienne abrégée.

98

De la méthode Espagnole.

ico

De la méthode Françoise.

103

Des suites decimales composées de périodes égales qui se succé-

dent à l'infini.

106

Theorême. Tout dividende moindre que 9,qui sera divisé par 9,

donnera pour le quotient une suite infinie de chiffres décie

maux égaux à celui du dividende. Tout dividende moindre

que 99 ou 999 ou 9999 &c , qui sera divisé par 99 ou 999

ou 9999 &c, donnera pour quotient une suite infinie de

périodes décimales de deux ou de trois ou de quatre &c

figures égales à celles du dividende.

107

Corollaire I. La somme d'une suite infinie de périodes déci-

males composées des mêmes chiffres, sera égale au quorient

d'une periode divisé par un nombre composé d'autant de

9 qu'il y aura de figures dans le période.

110

Corollaire II. Une suite de périodes décimales qui ne com-

mence , pas après la virgule, représente le quotient d'une
division dont le dividende eit égal à une période , & donc
le diviseur est composé non seulement d'autant de 9 que la
période a de chiffres , mais encore d'autant de zéros qu'il
y a de places entre la virgule & le premier chiffre de la
premiére période.

ibia

Preuve de la multiplication.

112

Preuve de la Division.

us

Remarque sur le nombre des chiffres que doit avoir le quotient

par rapport au dividende & au diviseur.

118

Preuve de la multiplication & de la division, appeléc Preuve

par

119

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Des Fra&ion's.

CHAPITRE I. Des fra&tions en général &

de leur réduction.

12

Définitions des fractions & des termes qui les composent.

122

Corollaire I. Une fraction est le quotient d'une division qui a

pour dividende le numérateur de cette fraction ; & pour

diviseur le dénominateur de la même traction.

124

Corollaire Il On peut toujours convertir un nombre entier

cn une fraction, en le multipliant par un nombre quelcon-
que pour en faire un numérateur, & en lui donnant ce
même nombre pour dénominateur.

ibid
Corollaire III. une fraction est égale à l'unité entiére lorf-
que ses deux termes sont égaux.

ibid
Corollaire IV. Si l'on multiplic ou si l'on divise par une

même quantité les deux termes d'une fra&ion, la valeur

ne changera point.

Ce que c'est que réduire une fraction à ses moindres termes ibid
Problême Réduire une fraction à ses moindres termes fans
en changer la valeur.

ibid
Remarque. Autre maniere de réduire unc fraction à ses moin-

dres termes.

Probleme. Réduire deux fractions au même dénominateur

fans changer leur valeur.

129

Problême Réduire à un même dénominaccur tant de fractions

qu'on voudra.

130

Remarque. Des fractions réduites à la même dénomination

peuvent souvent être réduires à de moindres termes, fans

ceffer d'avoir un commun dénominateur.

Probleme. Trouver les entiers qui font dans des fra&ions.

133

CHAPITRE II. De ĽAddition Ego de la

Soustraction des Fractions.

134

Probleme. Ajoûter enfemble plusicurs fra&ions.

ibid

Problême. Soustraire une fracion d'une autre fra&ion. 135

CHAPITRE III. De la Multiplication . & de

la Division des Fraftions.

136

Problême. Multiplier une fraction par un nombre entier.

137

Problême. Diviser une fraction par un nombre entier.

Probleme. Multiplier par une fraction.

140

Corollaire. La multiplication par une fradion dont le numé-

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ܙܪܳi

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