Journal des mines

quant toutes les autres, le solide dont elles pro duiront la surface, par leur réunion, sera un dodécaèdre à triangles scalènes (fig. 4), ana, logue au métastatique, et si l'on fait passer dans ce dodécaèdre six plans mnr, nrs, rst, stx, txm, xmn, ils intercepteront un rhomboïde aigu. Or j'ai prouvé (1) que ces sortes de rhom boïdes étaient toujours susceptibles d'être produits, comme formes secondaires, par des dé croissemens relatifs à la forme primitive, et que de plus chacun d'eux étant considéré comme noyau hypothétique, par rapport au dodécaèdre, pouvait le faire naître, en vertu d'une loi de décroissement sur les bords inférieurs mn, nr, rs, etc. Dans le cas présent, le noyau hypothétique est semblable au rhomboïde que j'ai nommé contrastant (2), et la loi qui produit le dodécaèdre a lieu par trois rangées.

Cette corrélation entre les différens polyedres qui dérivent d'une même forme primitive, a ainsi le double avantage de ramener les résul'tats des lois intermédiaires à un point de vue très-simple, et de faciliter le calcul des angles, en permettant de substituer aux formules qui représentent ces mêmes lois, celles qui sont données par les lois ordinaires. Et ce qui ajoute encore à cet avantage de pouvoir simplifier, à l'aide d'un équivalent, la conception des décroissemens intermédiaires, c'est que la forme du noyau hypothétique est ordinairement une de celles qui étant produites elles-mêmes par une loi simple, sont les plus familières à la

(1) Traité de Minéral., t. II, p. 15 et suiv. (2) Ibid, p. 137.

cristallisation. Dans le cristal qui nous occupe, c'est, comme je l'ai dit, le rhomboïde contras

tant dont le signe est e. Dans la variété paradoxale, dont la découverte est due aux savantes recherches de M. Tonnellier (1), c'est le rhomboïde inverse qui a pour signe E11E. Dans la variété numérique (2), c'est le rhomboïde équiaxe représenté par B. Enfin dans la variété ambigue (3), le noyau hypothétique est semblable au véritable.

Les facettes t, t (fig. 1), qui résultent du décroissement B (fig. 2), ont cette propriété, que leurs intersections avec les faces r, r (fig. 1), produites par le décroissement Ď (fig. 2), forment un hexagone, c'est-à-dire, qu'elles sont situées sur un même plan perpendiculaire à l'axe du cristal. Or, j'ai trouvé récemment que cette propriété dépend généralement de la condition que le nombre des rangées soustraites sur B, excède d'une unité celui des rangées soustraites sur D, et que de plus elle a lieu pour tous les rhomboïdes, quelles que soient les valeurs de leurs angles.

Je donne à la variété que je viens de décrire le nom de chaux carbonatée euthétique, qui indique les positions heureuses des faces c, v (fig. 1), dont les premières se trouvent transformées en rhombes par l'intervention des

(1) Traité de Minéral., t. II", p. 154.

(2) Voyez le n°. 106 de ce Journal, p. 302. (3) Idem, n°. 133. p. 50.

secondes, et celles des faces r, t, qui sont limitées les unes par les autres, de manière que leur jonction est sur un même plan.

J'ai pensé que les minéralogistes géomètres et les savans qui, sans avoir fait une étude particulière de la minéralogie, ont bien voulu accueillir un travail qui a étendu le domaine de la géométrie, par des applications à des corps dont l'existence est réelle, me sauraient gré de leur offrir ici la démonstration de ces divers résultats auxquels je suis parvenu

cherchant à déterminer la nouvelle variété de chaux carbonatée. Je vais donner d'abord la théorie générale des décroissemens intermédiaires sur les angles inférieurs d'un rhọmboïde.

Soit ph (fig. 5), le dodécaèdre produit par un décroissement de ce genre; a fmi, la face du noyau dont l'angle inférieur touche l'arête pe; etcmb la section du prolongement de cette face sur les triangles v pe, λpe. Menons cb, puis les diagonales am, if, et du point o qui est l'intersection des lignes cb, am, menons an perpendiculaire sur pe; le rapport de bo à on sera celui du sinus au cosinus de la moitié de l'angle que forment entre elles les faces upe, λpe. Il s'agit de trouver l'expression algébrique de ce rapport.

Soit a bl(fig. 6), un rhombe semblable à l'une des faces du noyau, et y, le bord analogue à ef (fig. 3), sur la première lame de superposition, dans. l'hypothèse d'une seule rangée soustraite. Soit, le nombre d'arêtes de molécules compris dans ♪ (fig. 6), et y, celui que renferme . Menons parallèle

à la diagonale bl, et y parallèle au côté ♪ l. Soient g" et p", les demi-diagonales de la molécule , get p étant celles du noyau, il est facile de voir que du contient autant de fois 2p" qu'il y a d'arêtes de molécules dans dy, donc бле μ=2p" x. De plus, les triangles semblables γμν, εδν donnent

Soit amzx (fig. 7) la coupe principale du noyau; pe, eh, les mêmes arêtes que fig. 5, et pg, gh (fig. 7) celles qui sont parallèles aux précédentes dans la partie opposée. Soit mkf le triangle mensurateur rapporté au plan am zx, et n, le nombre de rangées soustraites, on aura mk=n × ♪ v (fig. 6), et

mk (fig. 7): kƒ ::

ариху
x + y