velles Tables de la Lune, d'un ufage très-fimple &

très-facile,

NOUVELLES TABLES de la Lune,

EXEMPLE pour faire ufage de ces Tables,

QUINZIEME MÉMOIRE.

pag.239

pag. 281

P. 307

De la libration de la Lune,

pag. 313

OPUSCULES

OPUSCULES

MATHÉMATIQUES.

DIXIEME MÉMOIRE

Réfléxions fur le calcul des Probabilités.

I.

A régle ordinaire de l'analyse des jeux de hazard, eft celle-ci : multipliez le gain ou la perte que chaque événement doit produire, par la probabilité qu'il y a que cet événement doit arriver; ajoutez enfemble tous ces produits, en regardant les pertes comme des gains négatifs; & vous aurez l'espérance du joueur, ou, ce qui revient au même, la fomme Opufc. Math. Tome II.

A

que ce joueur devroit donner avant le jeu, pour comment cer à jouer but-à-but. Aucun Analyfte, que je fache, n'a jufqu'ici révoqué cette régle en doute, & tous s'y font conformés dans les calculs qu'ils ont faits des différentes. probabilités. Il fe trouve néanmoins des cas où elle paroît être en défaut, & qui vont faire la matiere de quelques. réfléxions.

I I.

Le premier de ce cas eft celui dont il eft fait mention dans le Tome V des Mémoires de l'Académie de Petersbourg. Pierre joue avec Jacques à croix ou pile, à cette condition, que fi Pierre amene croix au premier coup, Jacques lui donnera un écu; s'il n'amene croix: qu'au fecond coup, deux écus; si au troifiéme coup, quatre écus; fi au quatrième, huit écus, & ainfi de fuite en progreffion Géométrique; on demande l'espérance de Pierre, ou ce qu'il doit donner à Jacques pour jouer avec lui à jeu égal.

Suivant les régles ordinaires, la probabilité que croix arrivera, au premier coup, eft, au fecond coup, au troifiéme, &c. & ainfi de fuite; donc conformément à la régle ci-dessus, l'espérance ou l'enjeu de Pierre feroit 1× ÷ ÷ +2×÷÷ + 4x + &c. =+=+÷&c. à l'infini ; c'est-à-dire, que Pierre devroit donner à Jacques avant de commencer le jeu, une fomme infinie, pour jouer avec lui à jeu égal. Or, indépendamment de ce qu'une fomme infinie eft une chimere, il n'y a perfonne

qui voulût donner pour jouer à ce jeu, je ne dis pas une fomme infinie, mais même une fomme affez modique. La régle paroît donc être en défaut, au moins pour

ce cas,

I I I.

La premiere idée qui fe présente pour la juftifier; eft de dire,que si l'efpérance où l'enjeu de Pierre se trouve infini, c'est parce qu'on fuppofe tacitement que le jeu doit ou peut durer un tems infini; c'est-à-dire, que croix peut n'arriver qu'après un nombre infini de jets. Or; dira-t-on, cette fuppofition eft abfurde; car il faudra bien que croix arrive enfin après un nombre de jets fini, lī grand qu'on voudra. Le jeu propofé ne doit donc pas durer toujours, ne le fauroit même, & par conféquent l'efpérance de Pierre n'eft que finie.

I V.

'A cela je réponds d'abord qu'on fuppofe gratuitement que croix doit arriver nécessairement après un nombre fini de coups; car il eft dans l'ordre des chofes poffibles (telles que l'analyfe ordinaire des jeux de hazard les. confidere) que pile arrive à tous les coups, & que par conféquent croix n'arrive jamais. L'analyfe des jeux de hazard (telle encore une fois que tous les Mathé maticiens l'ont fuivie jufqu'à présent) suppose que toutes les combinaisons font également possibles, chacune en particulier. Que l'on joue, par exemple, en 60

coups, au lieu de jouer en un nombre de coups indéfini; le nombre des combinaisons poffibles eft 260, & fur ces combinaisons il y en a une qui n'amenera jamais. croix; mais cette combinaison eft regardée par les Analyftes, comme étant aussi possible, qu'aucune des autres combinaisons prise en particulier. Il est donc poffible (au moins en fuivant les principes adoptés jufqu'à préfent par les Analyftes) que croix n'arrive jamais ; & par conféquent on ne doit point reprocher au calcul précédent, ni cette fuppofition, ni la conféquence néceffaire. qui en résulte, favoir une fomme infinie pour l'espérance ou l'enjeu de Pierre; ou bien, fi on attaque cette supposition, il faudra nécessairement réformer, à plusieurs autres égards, l'analyse des probabilités; c'eft ce que nous, difcuterons plus bas..

V.

En fecond lieu, je veux bien fuppofer que croix ar rivera enfin nécessairement après un nombre fini de coups; it est au moins évident qu'on ne fauroit fixer ce nombre de coups, qu'il eft indéterminé ou indéfini; d'où je conclus deux chofes; 1°. que quelque fomme finie qu'on affigne pour l'efpérance ou l'enjeu de Pierre, cette fomme pourra être au-deffous de celle qu'il doit donner réellement à Jacques. Suppofons, par exemple, qu'on affigne trente écus pour l'efpérance de Pierre; on aura donc fuppofé que croix doit arriver néceffairement en foixante coups; ce qui eft abfurde. Car il eft évident (§. précédent) qu'en se bornant à confidérer ce qui eft ris