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Calcul pour trouwer la latitude du parallèle è l'équateur

demandé.

TM=sin L..(ST=1)
à cause des triangles semblables TMS, TMN, on a

TS:SM:: TM: TN=sin L cos L. = TN'.
Le triangle MTP donne

sin I sin L
cos I:sin L::sin I:PM

=PN.

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Dans le triangle P'TN', on a

P!N:N'T::I:tang T-P'N!=tang QTP

w

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d'ailleurs on a: cos b=sin 1 ; sin b = cos I;

A=L;

donc :

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=r

sin' It cos' I cos' L

cos? I sin' L.
sin' It cos. I cos' L
Soit X la latitude cherchée,

sin X=VI cosa I sin' L=V 1-sin? E sin’L,
E étant l'angle des plans de l'équateur et de l'écliptique.

Note sur la transformation des coordonnées obliques, en d'autres coordonnées obliques, qui ont même origine.

Par M. HACHETTE. Sil'on conçoit un parallélipipède qui a pour diagonale la droite menée de l'origine à un point mené dans l'espace, et pour arètes, des droites parallèles aux axes des coordonnées, les trois arètes de ce parallelipipède qui aboutissent au point donné, sont les coordonnées de ce point; la diagonale est le 4° côté d'un quadrilatère gauche dont les trois autres côtés sont des droites égales aux coordonnées. Dans un très-beau mémoire de M. Carnot (imprimé en 1806), sur la relation qui existe entre les distances respectives de cing points quelconques pris dans l'espace, ce géomètre a donné (page 61) les équations par lesquelles on passe d'un systême de coordonnées obliques, à un autre système de coordonnées obliques, et il arrive à ces équations par une méthode extrêmement élégante, fondée sur ce théorême connu de géométrie, que dans tout polygone, plan ou gauche, chacun des côtés est égal à la somme de tous les autres, multipliés chacun par le cosinus de l'angle qu'il forme avec le premier. » D'après ces équations, qui sont toutes linéaires , on obtient faci

l'élimination , les valeurs des coordonnées anciennes, en coordonnées nouvelles; j'ai déjà fait voir (page 7, 2° vol.) que les équations qui donnent directement ces valeurs, exprimoient des propriétés de l'espace que j'ai démontrées par la synthèse ; c'est cette même theorie que je vais exposer d'une manière qui me paroît plus simple.

Nommons x, y, z, les coordonnées obliques d'un point de l'espace ; x', g', z., les nouvelles coordonnées obliques, qui ont même origine que les premières, et supposons que chaque axe des nouvelles coordonnées soit donné par les trois angles qu'il forme avec les plans des coordonnées primitives, en remarquant que de ces trois angles , deux seulement sont nécessaires. Ayant imaginé par l'origine des coordonnées, trois axes auxiliaires perpendiculaires aux plans primitifs des xy, des xz, des yz, désignons-les par les trois lettres Z, Y, X. Il est évident

que les angles des axes auxiliaires et des axes des nouyelles coordonnées s', y', z' sont connus, puisqu'ils sont les complémens de ceux que ces derniers axes font avec les plans des coordonnées primitives; nous les désignerons comme M. Carnot, par les deux lettres ( mises en parenthèse ) qui distinguent les côtés de l'angle.

sur

Maintenant la question est de trouver directement la valeur des coordonnées x,y,z, en fonctions des coordonnées x', y', z'. et des neuf angles que les axes de ces nouvelles coordonnées font avec les droiles X, Y, Z. Avant de résoudre cette question, il faut définir un nouveau mode de projection, dont nous ferons usage, et qui consiste à projeter un systême de points donnés,

une droite fixe, par des plans perpendiculaires à cette droite; le plan mené par un des poinis donnés perpendiculairement à la droite fixe, coupe cette droite en un point qui en est la projection. Cette espèce de projection jouit de deux propriétés: 1°. tout ce qui est contenu dans un plan perpendiculaire à la droite de projection se projette sur cette droite suivant un seul point; 2°. la longueur de la projection d'une droite est égale à la longueur de cette droite multipliée par le cosinus de l'angle, qu'elle fait avec la ligne de projection.

Cela posé, la droite menée par l'origine des coordonnées à un point déterminé de l'espace, et Jes droites égales et parallèles aux coordonnées , j, 2, x, y, z', forment deux quadrilatères gauches, qui ont la première droite pour côté commun; il est évident que les projections de ces deux quadrilatères sur l'une quelconque des trois droites X, Y, 2, sont égales. Or, la projection des coordonnées x, y, z, se réduit toujours à la projection de l'une d'elles; ainsi , lorsqu'on les projette sur la droite x, elle se réduit à la projection de

car y et z, situées dans un plan perpendiculaire à la droite x, se projettent en un seul point, qui est aussi la projection de l'extrémité de x; mais la projection de « sur la droite X a pour expression x cos (x,x); donc cette quantité exprime aussi la projection de l'un des quadrilatères gauches. Les projections de x', y', z', sur la même droite X ont pour expressions respectiveinent

s' cos (c', X), y cos (y', X), z' cos (z', X). Or, la somme de ces trois quantités est égale à la projection du second quadrilatère gauche , qui est elle-même égale à celle du premier quadrilatère ; donc on a l'équation :

x cos(x,x)=x' cos (',x) + y' cos(y',x)+z'cos (z',X).

Par la même raison, on a les deux autres équations :

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(E)

ycos(y,Y)=x'cos(vt',Y) + y'cos(y',Y) + z' cos(z',Y) z cos (2,2)=x cos(x', 2) ty!cos (y',Z) + z'cos(z!,Z). Lorsque les axes des x, des y , des z , sont perpendiculaires entr'eux, les droites X, Y, Z , sont perpendiculaires entr'elles, et se confondent avec les axes mêmes , et on a les équations de condition :

cos (x, X)=1,cos (y ,Y)=1,cos (z , Z)=1.
cos* ( 3',X) + cos' (x', Y) + cosa (ac', Z)=1.
cosa (y',x)+ cosa (y', Y)+ cos* (y', 2)=1.

cosa (z', X)+ cosa (z!, Y)+ cosa ( z', Z)=1. Et les trois équations précédentes (E) deviennent x=x'cos (x,x)+ gicos (y',X) + z' cos (z', X) g=xcos (v! , Y)+ y! cos (y', Y) + z' cos (Z!, Y) (E')

= cos ( 3', 2) + cos(',Z)+z' cos ( z',

Z),

dans lesquelles X, Y, Z, désignent les axes rectangulaires primitifs des x, des y, des z.

Ces formules sont celles par lesquelles on passe d'un système de coordonnées rectangulaires à un systême de coordonnées obliques.

Lorsque les axes des s', des y', des z', sont perpendiculaires entr'eux, on a de plus les équations de condition :

cos (x, X) + cos(y', X) + cos? (z!, X)=l..
coso (x", Y) + cosø (y', Y) + cosa (z', Y)= 1.

cos ( ac', 2) + cosa (y', 2) + cos' ( z1, 2)=1. Dans le cas général, nous avons supposé les nouveaux axes des s', des gl., des z', déterminés par les angles que ces axes font avec les plans (xy), (x2), (yz) des coordonnées primitives x, y, z; s'ils étoient déterminés par les angles qu'ils feroient avec les arêtes de la pyramide formée par ces trois plans, les formules ordinaires de la trigonométrie sphérique donneroient les lignes trigonométriques des neuf angles qu'on a supposés connus dans les équations (E) ou (E'), et on déduiroit des mêmes formules trois équations de condition, entre ces angles et les trois autres angles qui déterminent la position resa pective des trois axes des , des y, des z , et qui appartiennent à la pyramide formée par ces trois axes.

ود

Supplément à l'article « des Surfaces du second degré» ,

pages 187 — 203 ; par M. BOURDON.

Dans la discussion des cas particuliers relatifs à la détermi-
nation des axes principaux dans les surfaces du second degré,
nous n'avons fait aucun usage de l'équation en 11, parce qu'elle
est très-compliquée. Cependant, pour ne rien laisser à désirer
sur cette matière, nous avons cru devoir faire connoître une
forme sous laquelle elle est susceptible d'être mise , et qui en
rend la discussion assez simple.
Faisons, pour abréger,

P=2 B' B" (A - A+ B (B": -- Bla)
Q=2 B B!(A - A )+ B' (B: -B!!:)

R=2 B B! (A - A") + B" (B!2 - B: ).
Les quantités P, Q, R, sont évidemment liées entr'elles par
la relation :
PB + QB! + R B" = 0

(X). On parvient, après quelques transformations, à l'équation RB43+ [2R(A-1)+QB-PB' } 42+[PB"+2014-A) - RB] u-QBE

Cela posé, soit 1° R=0, l'une des valeurs d'n devient infinie. Quant aux deux autres , elles seront données par l'équation. (QB-PB') ? +[BP" + Q(A - A')]u-QB=o, qui

B

devient, à cause de larelation (X), d'où l'on tire P=

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équation qui donnera les deux autres valeurs d’u.

On parviendroit à cette même équation, en remontant

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