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riques. Les deux théorêmes qu'il donne à cet effet peuvent être compris dans l'énoncé suivant :

« Si les angles plans qui composent un angle solide convexe à » plus de trois faces , demeurent constans et qu'on fasse varier » d'une manière quelconque les inclinaisons mutuelles de ces » plans, ou , pour abréger , les inclinaisons sur les arêtes , si » on met ensuite sur chaque arête le signe + ou le signe » lon

que l'inclinaison sur cette arête augmente ou diminue , et » qu'on ne mette aucun signe aux arêtes sur lesquelles l'incli» naison ne varieroit pas, je dis qu'on trouvera au moins quatre » variations de signe en faisant le tour de l'angle solide. »

De là M. Cauchy passe aux théorêmes 11, 12 et 13 , sur les polyèdres convexes. Le théorême 11 n'est autre chose

que théorême d'Euler connu par la notation S + H = A + 2. Le théorême 12 est une extension fort remarquable du théorême d'Euler au cas où les faces au lieu d'être planes, seroient considérées simplement comme des espaces terminés par plusieurs droites non situées dans le même plan. En effet, si chacun de ces espaces compte pour une face, si en même temps les angles solides continuent d'être convexes, il n'y a aucun changement à faire à la démonstration du théoréme d'Euler, telle que je l'ai donnée dans ma Géométrie , et on parvient toujours à l'équation S +H=A + 2.

Pour venir enfin à la démonstration du théorême 13, qui est l'objet principal de ce Mémoire, l'auteur suppose d'abord qu'on fasse varier à-la-fois les inclinaisons sur toutes les arêtes. Cette supposition ne pourroit avoir lieu à l'égard des angles solides triples qui sont invariables ; mais dans tout polyèdre donné on peut supprimer les angles solides triples , et le théorême ne sera à démontrer que pour les polyèdres dont tous les angles solides sont composés de quatre angles plans ou plus.

Supposant donc avec l'auteur que les inclinaisons sur les arêtes varient toutes à-la-fois, cherchons combien il y a de variations de signe d'une arête à la suivante. Il y a deux manières de compter ces variations; l'une en les considérant successivement sur les divers angles solides, l'autre en les considérant sur les diverses faces. On est d'ailleurs assuré que le nombre total, estimé d'une manière ou de l'autre, sera toujours le même ; car deux arêtes consécutives qui appartiennent à l'un des angles solides , appartienneut en même temps à l'une des faces, et vice versá.

Cela posé , puisqu'en vertu du théorême rapporté ci-dessus on doit compter au moins quatre variations autour de chaque

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angle solide , le nombre cherché N devra au moins être égal à 4s, de sorte qu'on aura N> 4 S. C'est la première limite de N.

En second lieu, si on examine les successions de signes placés sur les côtés de chacune des faces et qu'on estime les variations au plus grand nombre possible, on trouve que dans un triangle le nombre des variations ne peut être plus grand que 2; que

dans un quadrilatère et dans un pentagone il ne peut surpasser 4; que dans un hexagone et dans un heptagone il ne peut surpasser 6, et ainsi de suite. Donc, si la surface du polyèdre est composée de a triangles, de b quadrilatères , de c pentagones , etc. , le nombre

с total des variations ne pourra être plus grand que 2 a + 4b+ 40+60 +6e + etc.

Mais il est facile de voir, au moyen de l'équation S + H=2, que la quantité précédente est moindre , ou tout au plus égale à 45-8. Donc on auroit à-la-fois N> 4 Set N<45 – 8; résultat absurde , et nous conclurons qu'il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes varient toutes à-la-fois dans le polyèdre donné.

Supposons maintenant que les inclinaisons sur quelques-unes des arêtes demeurent constantes , tandis que les autres varient; si on supprime toutes les arêtes ou l'inclinaison ne varie pas, on supprimera en même temps des parties de la surface du polyedre proposé, qui ne seront sujettes à aucune variation, et on aura un polyèdre nouveau , dont toutes les faces ne seront point planes, mais qui tombera dans le cas du théorème 12, et qui, par conséquent, satisfera encore à l'équation :

S + H = À+2, entendant par H le nombre total des faces, soit planes , soit terminées par une suite de droites non situées dans un même plan.

Ayant ainsi réduit le polyèdre proposé à un autre dans lequel les inclinaisons sur les arêtes varient toutes à-la-fois, on retombe dans le premier cas, et on conclut de même que la figure du polyèdre est invariable.

Il est donc démontré que deux polyèdres convexes sont égaux et peuvent être superposés, lorsqu'ils sont compris sous un même nombre de polygones égaux chacun à chacun, et disposés de la même manière dans les deux solides.

Nous voulions ne donner qu'une idée de la démonstration de M. Cauchy, et nous avons rapporté cette démonstration presque toute entière. Nous avons ainsi fourni une preuve plus évidente de la sagacité avec laquelle ce jeune géomètre est parvenu à vaincre une difficulté qui avoit arrêté des maîtres de l'art, et qu'il étoit important de résoudre pour le perfectionnement de la théorie des solides. Nous pensons, en conséquence, que ce Mémoire mérite d'être approuvé par la classe et imprimé dans le Recueil des Savans étrangers.

Signé Biot , CARNOT, LE GENDRE , rapporteur. La classe approuve le rapport et en adopte les conclusions.

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S. II.

ANNONCES D'OUVRAGES.

Rapport du Conseil de Perfectionnement de l'Ecole Impériale

Polytechnique, session de 1811 à 1812.

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Journal de l'Ecole Polytechnique, publié par le Conseil d'Ins

truction de cet établissement, 7o. et 8o. cahiers ; 1 vol. in-4o.

Ce cahier contient les leçons de mathématiques données à l'ancienne Ecole Normale , par MM. LAGRANGE et LAPLACE , et un Mémoire sur le contact des sphères, par FERMAT, trad. du latin

par

M. HACHETTE.

Traité de Mécanique, par M. POISSON, 2 vol. in-8°.

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Sommaires des Leçons du Cours de Mécanique de M. PRONY ;

1 vol. in-4°.

Supplément de la Géométrie descriptive de MONGE, par

M. HACHETTE, 1 vol. in-4°

Uranographie, ou Traité Elémentaire d'Astronomie, par

M. FRANCUR; 1 vol. in-8°.

Siderotechnie, ou l'Art d'extraire la fonte , le fer, l'acier, des

minerais qui les contiennent, par M. HASSENFRATZ, 4 vol. in-4., et 80 planches.

Mémoire sier les Tribus arabes des déserts de l'Egypte,

Mémoire sur les branches du Nil, par M. DUBOIS AIMÉ, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, directeur des douanes à Livourne.

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Dictionnaire historique de Musique , par M. CRORƠN, ancien

élève de l'Ecole Polytechnique ; 2 vol. in-8°.

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M. GAULTIER , Professeur de Géométrie descriptive au Conser

vatoire des Arts, a présenté à l'Institut un Mémoire fort intéz ressant sur les contacts des sphères. On en rendra

compte dans le prochain cahier.

S. III.
PERSONNEL:

M. Durivau, chef de bataillon du Génie, a été nommé; par décret impérial du 17 avril 1812, directeur des Etudes de I'Ecole Polytechnique. M. le baron de Vernon, qui occupoit cette place, a été admis à la retraite.

M. Poisson a été nommé par Sa Majesté, Examinateur de l'Artillerie, le 18 avril 1812 , et Membre de l'Institut , le 23 mars même année.

M. Etienne-Louis Malus , major au corps impérial du Génie , Membre de la Légion d'Honneur, de l'Institut impérial de France, nommé provisoirement Directeur des Etudes de l'Ecole Polytechnique, est décédé le 23 février 1812, âgé de 37 ans. Les Elèves présens à ses funérailles ont entendu avec émotion et attendrissement les éloges prononcés sur sa tombe par

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MM. Biot, Delambre, et Couche, major du Génie. En rappelant cette scène de douleur , qu'il soit permis de citer une partie du discours lu par M. Couche, au nom du comité des Fortifications. Les Elèves qui n'ont pas eu l'avantage de connoître M. Malus, sauront l'apprécier comme le modèle des officiers que l'Ecole Polytechnique a pour objet de former.

« Le comité de fortifications vient mêler ses regrets à ceux de l'Institut et de l'Ecole Polytechnique, et déplorer avec eux la mort prématurée d'un digne successeur des Meunier, des Coulomb , de ces hommes que le corps du génie se glorifie

, d'avoir élevés pour les progrès des sciences qui le guident et l'éclairent dans ses travaux. C'est au corps illustre qui dirige ces progrès vers la gloire et l'utilité de l'Etat, à dire par quelles brillantes découvertes Malus a , sur les traces de Newton , culé les bornes de l'optique. Cette première Ecole du monde rappellera ce que ses examens, les discussions de ses conseils et la direction de ses études , doivent à Malus , à la profonde intelligence des rapports qui unissent les sciences aux arts de l'ingénieur. Ses camarades ne peuvent que préluder à ces éloges , par le tableau simple et rapide de ses services militaires. Ils l'ont yu, soldat et travaillant aux fortifications de Dunkerque, venir se placer parmi les chefs de brigade de l'Ecole Polytechnique, instruire les autres en s'instruisant, et prendre enfin dans le corps du génie le rang que lui assignoient l'éclat et le succès de ses études. Toujours brave , savant, estimé de ses chefs et cher à ses camarades , il a partagé leurs périls aux armées de Sambre-etMeuse, du Nord et d'Egypte; aux batailles de Chebriès, des Pyramides , d'Héliopolis

et de Coraïm ; aux siéges d'El-Arish; de Jaffa et du Caire. L'armée d'Orient l'a vu à Jaffa braver la peste pour établir les hôpitaux de l'armée, souffrir tous les maux de cetie horrible contagion, et n'en guérir que pour sacrifier de nouveau sa vie à son devoir. Ce devoir, sous ce climat brûlant, n'épuisoit point son ardeur, et dans les loisirs de son service, il coopéroit a ces travaux par lesquels les sciences et les arts s'efforçoient de créer des ressources à l'armée et s'associoient à sa gloire. A son retour, dans les sous-directions d'Anvers, de Kehl et de Paris, au comité des fortifications

fortifications, soit qu'il fallût asseoir des travaux, discuter des projets, ou résoudre ces ques. tions d'art qui exigent tous les secours de la théorie et de l'expérience, par-tout il a déployé ces mêmes lumières et ce même sentiment de son devoir, qui soumettoient aux détails de son service ses plus glorieux travaux dans les sciences. »

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