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ASTRONOMIE.

Recherche des variations qu'éprouvent les ascensions droites et les déclinaisons des Etoiles, en vertu d'un petit déplacement de l'équateur et de la ligne des équinoxes; par M. PUISSANt (*).

Pour démontrer les formules de nutation données par Lambert, M. Cagnoli a recours aux analogies différentielles de la trigonométrie sphérique. D'autres géomètres, et notamment MM. Biot et Delambre, sont parvenus à ces formules par des considérations purement élémentaires; mais, en ne renonçant pas à l'usage du calcul différentiel, on peut les obtenir à priori, et très-simplement, par la méthode suivante.

Equations fondamentales.

Désignons par E le lieu d'une étoile, par P. le pôle de l'équateur céleste, par P' celui de l'écliptique; et soient l'ascension droite oyenne de l'étoile, D sa déclinaison moyenne supposée boréale, I sa longitude supposée moindre que 90°, a sa latitude boréale. Enfin, appelons a l'obliquité de l'écliptique.

Cela posé, dans le triangle sphérique EPP', on aura évidemment

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(3)

1 (4)

tang 4

1

tang a sina

cosa sin L

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ços A cos Dcos à cos L,

sin acos @ sin D sin a cos D sin A.

SOLUTION.

La variation d'obliquité due à un mouvement de rotation de l'équateur autour de la ligne des equinoxes, n'a point d'influence

(*) Voyez, pour l'intelligence de cet article, le Traité d'astronomie physique, par M. Biot, tom. II, pag. 111 et suivantes.

sur les latitudes ni sur les longitudes des astres, .mais elle affecte leurs ascensions droites et leurs déclinaisons. Quant au déplacement des points équinoxiaux, il produit nécessairement un changement, tant dans ces dernières coordonnées que dans les longitudes. Les effets réunis de ces deux causes étant supposés trèspetits, il en résulte qu'en différentiant les équations (1) et (3), et faisant varier à-la-fois A, D, a et L, on parviendra, après quelques transformations faciles, aux formules dont il s'agit. En effet, on trouve par la première équation,

dD=dw

cos cos a sin L-sin w sin
cos D

- sin @ sin λ) + dL.

et comme l'équation (2) peut s'écrire ainsi :

sin @ cos a cos L

COS D

Cos L

sin A cos A

cos λ= cos @ sin L cos x

sin a sin a,

il en résulte que l'équation différentielle précédente, en ayant d'ailleurs égard à la relation (3), se réduit à celle-ci :·

(5)

dDda sin A+ dL sin a cos A,

Telle est la variation en déclinaison cherchée.

L'équation (3) étant différentiée, on en tire

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Substituant cette valeur dans l'équation précédente, ainsi que celle de dD, on obtient, réductions faites,

(6) dA-da cos A tang D+ dL (cos + sine sin A tang D).

Les formules (5) et (6) seront celles de nutation lunaire en déclinaison et en ascension droite, si on met pour de et dL leurs valeurs relatives à ce phénomène. Or, l'observation et la théorie de l'attraction universelle ont fait connaître que la variation d'obliquité et celle de la longitude sont dépendantes de la longitude oyenne du noeud ascendant N de la lune, et que l'on a

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9",6 étant le demi-grand axe de l'ellipse de nutation, et

9",6 cos 2

COS @

son demi petit axe. (Mécanique céleste, tom. II, pag. 351; et Abrégé d'astronomie de Delambre, pag. 514.)

Cela posé, soit, pour abréger,

dam cos N,

dLn sin N,

les formules (5) et (6) se changeront en celles-ci

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m sin A cos N -n sin cos A sin N, =-m tang D cos A cos N

mais en général
sin x cos y

Ainsi

dD ou

nut. en décli.

dA ou

nut. en asc. dr.

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— n sin w tang D sin A sin N— n cosa sin N;

cos x cosy =
sin x sin y

=

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(m-n sin w) sin (4+N)+ ¦ (m+ n sin w) sin (A—N)

= n cos e sin N

―tangD[¦(m-nsin@)cos(4+N+¦(m+nsinw)cos(A-N)]

Si donc D' et A' sont respectivement la déclinaison et l'ascension droite apparente, on aura

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Ces deux formules de nutation sont calculées dans la supposition que la déclinaison D est boréale; mais il est facile de voir que si cette déclinaison était australe, il faudrait seulement prendre la valeur de dD avec un signe contraire.

En faisant dao dans les formules (5) et (6), on obtient sur-le-champ celles de précession en ascension droite et en déclinaison; mais on a dL = 50",1. On voit par-là combien la méthode précédente est générale et simple.

De la vis d'Archimède; par M. HACHETTE.

On suppose la vis réduite à un tube hélicoïde (pl. 3) Ocek (fig. 1, a), O'c'e'k' (fig. 1, b), dont l'axe est E (fig. 1, a), EK' (fig. 1, b). Cet axe fait, avec la tangente à l'hélice au point (C, C'), et avec le plan horisontal du niveau des eaux, les angles E'C'M', E'C'T'.

I.

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Le point O, O' étant l'origine du tube héliçoïde, et en même tems l'orifice par lequel l'eau s'introduit dans le tube l'élément de l'hélice en ce point doit, en tournant autour de l'axe E, (E' E'), prendre des positions telles que l'eau puisse s'écouler sur cet élément comme sur un plan incliné; ce qui ne peut avoir lieu que lorsque le tube hélicoïde tourne dans un sens contraire à celui du point générateur de l'hélice.

II.

Si on suppose que le tube, après avoir fait plusieurs révolutions autour de son axe, passe de l'état de mouvement à celui du repos, il sera divisé en plusieurs portions contenant alternativement ou de l'eau ou de l'air. Soient (c, c'), (e, e' les points pour lesquels les tangentes à l'hélice sont parallèles au plan horisontal, la portion du tube contenant l'eau sera la plus grande possible, lorsqu'elle sera égale à la portion d'hélice cek, c'e'k', comprise entre les points (c, c'), (e, e'); l'eau n'obéissant qu'à la loi de la pesanteur, remplira cet espace, et l'air compris entre deux portions consécutives d'eau, sera de même densité que l'air atmosphérique.

III.

Pour que l'air atmosphérique remplisse les intervalles qui séparent les arcs d'hélice remplis d'eau, il faut, à chaque révolution du tube, introduire un volume d'air atmosphérique égal au volume d'eau qui s'échappe par l'orifice supérieur du tube.

Le tube héliçoïde et son inclinaison par rapport au plan du niveau des eaux, étant donnés, la position de ce plan par rapport au cercle décrit par l'orifice inférieur du tube, est déterminée : lorsque l'arc d'hélice, correspondant à l'arc de cercle que cet orifice. décrit au-dessus du niveau des eaux, n'est pas égal' en dévelop pement, à l'arc d'hélice qui doit contenir le maximum d'eau, l'air compris entre deux portions consécutives d'eau n'est pas de même densité que l'air atmosphérique, et une partie de la force qui fait

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tourner ce tube, est employée à produire des mouvemens d'air qui sont perdus pour l'effet utile de la vis.

IV.

Si le cercle décrit par l'orifice inférieur du tube, plonge entièrement dans un réservoir, l'eau élevée dans le tube tend à descendre avec une vitesse qui croît en même tems que la hauteur du niveau de l'eau dans l'intérieur de ce tube; et lorsque cette vitesse est égale à celle que l'eau acquiert par la rotation de la vis, l'eau cesse de s'élever.

V.

En augmentant continuellement la vitesse de rotation de la vis, la force centrifuge devient plus grande que la gravité, et l'eau, au lieu de monter, s'échappe par l'orifice inférieur du tube. VI.

Détermination des points (c, c'), (e, e) de l'hélice, pour lesquels la tangente à celle courbe est parallèle au plan du niveau des eaux.

(Voyez la construction de cette tangente, supplément de la Géométrie descriptive, pag. 86, art. 96.)

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Un sinus est toujours plus petit que l'unité; donc on doit avoir B>a. Cette condition étant satisfaite, ainsi que celle de l'art. I, l'eau pourra s'élever dans le tube heliçoïde.

VII.

sont

Tous les points tels que (c, c') ou (e, e'), pour lesquels la tangente à l'hélice est parallèle au plan du niveau des eaux situés sur une arête du cylindre droit qui a pour base le cercle décrit par l'orifice inférieur du tube. Lorsque cet orifice sera en (c, c"), le point du tube pour lequel la tangente sera horisontale, occupera la position (e, e"), telle que l'arc d'hélice ce, cell sera de même longueur que l'arc (ce, c'e'), et tandis que l'orifice inférieur du tube décrira l'arc de cercle ce, fig. 1a, c, fig. 1b, l'élément du tube près cet orifice, aura (I) l'inclinaison convenable, pour recevoir l'eau du réservoir; car si l'on suppose l'orifice inférieur en un point (m, m') de l'arc de cercle (ce, c"), l'élément du

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