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le centre commun de gravité de quatre points matériels égaux en masse, qui se trouveroient situés aux quatre sommets du tétraèdre; et cela s'aperçoit sur-le-champ, par l'identité des procédés qui conduisent à la détermination de l'un et de l'autre centre de gravité.

Or de-là résulte immédiatement le théorême de M. Monge On voit en effet que le centre commun de gravité des masses situées aux deux extrémités de l'une quelconque des arêtes sera le milieu de cette arête, que le centre commun de gravité des deux autres masses sera le milieu de l'arête opposée , et qu'ainsi le centre de gravité de tout le systême, et conséquemment celui du tétraèdre, sera le milieu de la droite qui joint ces deux points.

On parvient donc ainsi, par de simples considérations de statique, à démontrer que les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre passent toutes par le même point, et que ce point est leur milieu commun ; le principe des momens montre de plus que la distance de ce point à un plan quelconque est le quart de la somme des distances au même plan des quatre sommers du tétraèdre; et les mêmes considérations prouvent que les droites qui joignent les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés, passent toutes par le même point, où elles se coupent en deux parties dont l'une est double de l'autre, et que la distance de ce point à un plan quelconque est le tiers de la somme des distances au même plan des sommets du triangle. On pourroit faire sans doute beaucoup d'autres applications de la statique à la géométrie.

On a vraiment lieu d'être surprisque Roberval n'ait pas aperçu ces diverses conséquences de l'observation qu'il avoit faite; elles sont si simples qu'on ne pourroit, ce me semble, sans une negligence impardonnable , les passer sous silence dans des élémens de statique.

HYDROSTATIQUE. Sur la Fontaine de Heron et la Lampe hydrostatique

de MM. Girard.

Par M. HACHETTE.

Ces deux appareils sont du nombre de ceux que j'ai considérés dans mon Cours des Machines ; les principes qui servent de base à leur construction sont développés dans la solution des deux problêmes suivans.

PREMIER PROBLÊ M E.

On donne trois vases abcd , ABCD, A'B'C'D' (fig. 6, pl. I), qu'on suppose de même forme et de même capacité ; le premier et le troisième sont remplis d'un même liquide , le deuxième contient de l'air ; on demande que le liquide du premier vase abcd, en tombant dans le deuxième vase ABCD, élève le liquide du troisième vase A' B'C'D' dans un tube L' N à une hauteur qui soit constante, quel que soit le niveau du liquide dans le premier vase abcd.

Solution.

(1) Le vase abcd étant fermé de tous côtés, le tube LN conduit le liquide que ce vase contient dans le vase inférieur ABCD; et afin que ce liquide soit remplacé par l'air atmosphérique, on fait rentrer cet air par le tube lm, dont l'extrémité i est très-voisine de L. Ce premier vase est alors semblable à certains verres à boire des oiseaux, qui se remplissent d'air à mesure qu'ils se vident d'eau. Le tube LN, ou il se termine en N, ou il se prolonge jusque dans un autre tube fghk, plein d'un liquide quelconque dont le niveau est n N n'. (2)

Il résulte de cette disposition que le liquide LN n'éprouve en L aucune pression , soit de l'air, soit du liquide contenus daņs le vase abcd.

(3) Quelle que soit la position du vase A' B' C' DI par rapport aux deux autres abcd, A B C D, on le met en communication avec ce dernier A BCD par un tube rst, qui a telle forme et telle direction qu'on veut, et qui peut même passer à travers le vase supérieur abcd. L'extrémité t de ce tube est au niveau de l'extrémité N' du tube N'L'.

(4) Tout étant ainsi disposé, il s'agit de démontrer que le liquide du vasé A' B'C'D' s'élevera dans le tube N' L' à une hauteur constante N' L', qui sera égale à la hauteur LN du tube par lequel le liquide tombe du vase supérieur abcd dans le vase inférieur A BCD; de sorte qu'ouvrant momentanément le robinet X, le liquide élevé dans le tube N' L' s'écoulera, et aussitôt qu'on fermera ce robinet le liquide s'élevera de nouveau dans le tube N' L' à la hauteur N'L' ENL.

(5) Quel que soit le liquide contenu dans les vases abcd, AB'C'D', la pression atmosphérique est mesurée par le poids d'une colonne de ce liquide, dont la hauteur est déterminée; nommons H cette hauteur. Avant qu'on ait ouvert le robinet V.

du tube LN quiconduit le liquide du vase abcd dans le vase A BCD, ce dernier vase est plein d'air armospherique dont la pression est mesurée par ; lorsque le robiuet Y a ete quelque temps ouvert, et ensuite refermé, le niveau du liquide dans le vase abcd s'abaisse au-dessous de ab en pq, l'air contenu dans le vase ABCD et le tube rsc se comprime, et l'augmentation de pression est mesurée par la hauteur LN (2). Nommant cette dernière hauteur h , la pression totale de l'air contenu dans le vase ABCD et le tube rst sera H + h.

(6) La force élastique de l'air qui aura passé du tube rst dans la partie supérieure du vase A B C D', et le poids du liquide que ce vase contient, fout en même-temps équilibre et à la pression H+h de l'air du tube rst, et à la pression atmosphérique H augmentée de la pression de la colonne liquide L Ñ; donc cette dernière pression est égale à h hauteur de la colonne liquide LN ; donc, dans l'état d'équilibre de toutes les pressions , on a constamment L' N = L N , quels que soient les niveaux P9, P Q, P'Q', pourvu néanmoins qne le niveau P Q soit toujours, au-dessous du niveau nNn' dans le vase ABCD.

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Les vases abcd, ABCD, A'B'C'D' sont supposés égaux; tout est disposé comme pour le problême précédent; les presa sions se font équilibre; les niveaux du liquide dans les trois vases sont indiqués par les horizontales pq, PQ, P'Q'; on demande le rapport du volume, variable du liquide CDP Q qui s'est écoulé du vase supérieur abcd dans le vase inférieur ABCD, au volume d'air A' B' P' Q' qui occupe la partie supérieure du vase A B C D'?

Solution.

Soit V le volume d'un quelconque des trois vases, et a sa hauteur verticale A Cou A' C', faisant CP=X, A P=y, et négligeant les volumes des tubes placés dans l'intérieur des vases, les deux volumes dont on demande le rapport ont pour expressions

Vx, Vy.

VY;

-; car ces volumes et le volume V sont des parallelipipèdes de même base , qui sont entr'eux comme leurs hauteurs », y et a.

Pour trouver la relation qui existe entre les deux quantités Xety, et pour en conclure l'une au moyen de l'autre, il faut

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a

.

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a

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observer que

la masse d'air contenu dans le vase ABCD et dont le volume est V sous la pression H, est égale aux masses d'air des colonnes A'B' P'Q' et ABPQ; d'où il suit : qu'en cherchant les volumes de ces trois masses d'air, dans l'hypothèse où elles seront soumises à la même pression, le volume de la première masse sera égale à la somme des volumes des deux autres masses; on concluera de cette égalité la valeur de x en y.

1°. L'air atmosphérique contenu dans le vase A B C D ayant sous la pression H un volume V, il aura sous la pression #th

HV ụn volume qui a pour expression

Hthi 2°. L'air ABPQ, ainsi que la portion d'air du tube rst (por tion qu'on néglige ), est soumis à la même pression H +h, et a

V 3o. L'air A' B' P Q est soumis à la pression H+h-(a-y); or, sous cette pression, il occupe un volume

donc sous la pression Hth son volume devient le 4'. terme de cette proportion :

V y(H+h+y-a), H+h:H+h+y-a:: :4° terme =

a(H+1) donc on aura l'équation suivante : HV

(H+ +y− a) H+

a(H+h) d'où l'on tire:

ah + y(H+--) + va

H+ Ainsi étant donnée la hauteur verticale A'Pl de la couche d'air contenu dans le vase A' B' C'D', on en concluera la hauteur verticale PC du liquide tombé du vase supérieur abcd dans le vase inférieur ABCD; et parce que cette hauteur CP est égale à la hauteur a p de la couche d'air rentré dans le vase a bed, il s'ensuit que des trois niveaux pq, PQ, P'Q', un étant donné, les deux autres sont déterminés.

L'appareil représenté fig.6, pl.I, estconstruit sur le même principe que les lampes de MM. Girard; pour le ramener à la forme d'une fontaine de Héron, il faut 1 °. supprimer le tube l m , et mettre l'intérieur du vase abcd en contact avec l'air almospherique ; 2°. supprimer le tube fghk et prolonger le tube LN

V y

a

jusques vers le fond CD du vase ABCD;34. enfin, il faut supprimer la partie st du tube rst; il suit de ce qui précède que dans la fontaine de Héron la pression en N'est variable, et que, par une heureuse application des principes connus d'hydrostatique, on est parvenu à donner à cette pression une valeur constante.

OPTIQUE.

DeľHéliostat;

Þar M. HACHETTE.

MM. BERTHOLLET et Malus ont fait exéculer par M. Fortin un héliostat d'une nouvelle construction. L'objet de cet insa trument est de donner, au moyen d'un miroir plan, mobile, une direction constante aux rayons solaires refléchis par ee miroir; le miroir est soutenu par une tige métallique perpendiculaire à son plan; on nomme cetle tige la queue du miroir. On a déjà démontré, dans plusieurs ouvrages de physique, que lorsque le soleil décrit un cercle de déclinaison , la queue du miroir décrit un cône oblique dont la base circulaire est parallèle à l'équateur ; je vais donner une démonstration synthétique de cette proposition.

Le point où la queue du miroir ( supposé réduit à une ligne droite) coupe le plan de ce miroir, peut être considéré comme le centre de la terre; car pour l'héliostat ainsi que pour les cadrans, on regarde le rayon de la terre comme nul, par rapport à la distance de la terre au soleil. Soit la figure 7, planchel, dans laquelle M est le point du miroir pris pour le centre de la terre, M P l'axe de la terre, MS une arête du cône droit qui a pour sommet le centre de la terre et pour base le cercle de déclinaison décrit par le soleil un certain jour de l'année, enfin Ms la direction constante suivant laquelle l'image du soleil mobile doit être réfléchie ; il s'agit de déterminer la position de la queue du miroir mobile , qui correspond à une position donnée du soleil dans le cercle de déclinaison.

Supposons que les points P, S,s, soient placés sur la sphère dont le centre est en M; le cercle de déclinaison décrit

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